Imágenes de un objeto familiar en$\mathbb{R}^3$ asignado a$\mathbb{R}^2$ por Cantor / Peano / Hilbert

Question

Las pruebas de que, por ejemplo, la cardinalidad de a $\mathbb{R}^3$ es igual a la cardinalidad de a $\mathbb{R}^2$, mapa de $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ a través de algún esquema: el Cantor del intercalado de decimales, la curva de Peano, la curva de Hilbert, etc., generalizada a dimensiones superiores.

Me gustaría ver imágenes de algunos objetos conocidos en $\mathbb{R}^3$—decir una esfera o un cubo asignado a $\mathbb{R}^2$. Es común para ilustrar las asignaciones de la otra manera, por ejemplo, muestra cómo la curva de Hilbert llena una unidad cuadrada. Pero estoy interesado en el reverso, para ayudar a la intuición y para entender mejor el efecto de las asignaciones en un objeto. Sospecho $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^1$ no sería esclarecedor, es por eso que me piden $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$.

Puede alguien me apunte a tales imágenes?

Answer 1

** ACTUALIZACIÓN! ** Volví a mi viejo código y genera las siguientes dos imágenes.

La primera imagen muestra la asignación de las tres esferas, cada uno de radio de 0.15, desde el cubo de $[0,1]^3$ a la plaza de la $[0,1]^2$, donde las esferas se centra en $(0.5,0.5,0.5)$ (rojo), $(0.2,0.5,0.5)$ (verde) y $(0.2,0.2,0.2)$ (azul), respectivamente. Yo uso la misma en un mapa de curvas de Sierpinski como se describe en mi post original a continuación.

La segunda imagen muestra la asignación de tres cubos, cada uno de sidelength 0.3, desde el cubo de $[0,1]^3$ a la plaza de la $[0,1]^2$, donde los cubos se centran en $(0.5,0.5,0.5)$ (rojo), $(0.2,0.5,0.5)$ (verde) y $(0.2,0.2,0.2)$ (azul), respectivamente.

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Actualización 2: Como habrá adivinado, la asignación de $\mathbb R^2\to\mathbb R$ no es muy esclarecedor. Aquí es el mapeo de la prueba estándar de la imagen de "Lenna" a 1D a través de la curva de Hilbert:

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Mi post original:

Hice un par de imágenes relacionadas con este hace un par de años. Yo no los objetos del mapa en $\mathbb R^3$$\mathbb R^2$, sino que me asigna el espacio de color RGB de una imagen bidimensional.

Aquí es un ejemplo. Imaginar qué (topológico) de la bola de mapas para usted podría, por ejemplo, se centran en el brillo de los colores rojo del mapa.

Para ser precisos, cada punto de $(x,y)\in[0,1]^2$ en la imagen corresponde a un RGB del color de la $\varphi(x,y)=(r,g,b)\in[0,1]^3$, definido por $\varphi=\alpha\circ\beta^{-1}$ donde $\beta:[0,1]\to[0,1]^2$ es el que llena el espacio de la curva de Sierpinski (nota: a pesar de $\beta$ a no es invertible, su preimagen tiene un elemento único para cada píxel en la imagen), y $\alpha:[0,1]\to[0,1]^3$ es tridimensional analógica de las dos dimensiones de la curva de Sierpinski (nota: Elegí uno de los muchos y natural posible generalizaciones de las dos dimensiones de la curva; no parecía haber ninguna elección canónica).

Lo que la imagen se ve como es muy dependiente de la elección de bijective funciones. La imagen de arriba es visualmente más agradable que producen. Aquí están algunos otros:

1. Igual que el anterior pero de asignación de espacio HSV en lugar de espacio RGB.

2. El uso de la curva de Hilbert $[0,1]\to[0,1]^2$ y un de tres dimensiones analógica de la misma:

3. Igual que el anterior pero con el espacio de color HSV lugar.

El Z-curva (equivalente a la intercalación de decimales), la curva de Peano y Schoenberg curva producida bastante feo fotos (lo siento, no todavía).