La matriz de rotación $$\pmatrix{ \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta}$$ tiene valores propios complejos $\{e^{\pm i\theta}\}$ correspondiente a los vectores propios $\pmatrix{1 \\i}$ y $\pmatrix{1 \\ -i}$ . El vector propio real de una matriz de rotación 3d tiene una interpretación natural como eje de rotación. ¿Existe una buena interpretación geométrica de los vectores propios de la $2 \times 2$ ¿Matriz?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Cameron MacFarland
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Respuesta de Tom Oldfield es genial, pero me has pedido una interpretación geométrica, así que he hecho algunas fotos.
Las imágenes utilizarán lo que he llamado un "gráfico de barras en fase", que muestra valores complejos como barras que han sido rotadas. Cada barra corresponde a un componente vectorial, cuya longitud muestra la magnitud y la dirección la fase. Un ejemplo:
La propiedad importante que nos interesa es que el escalado de un vector se corresponde con el escalado o la rotación del gráfico. Otras transformaciones hacen que se distorsione, por lo que podemos usarlo para reconocer los vectores propios basándonos en la ausencia de distorsiones. (Profundizo más en esta entrada del blog .)
Así que esto es lo que parece cuando rotamos <0, 1> y <i, 0> :
Esos diagramas no son sólo de escala/rotación. Así que <0, 1> y <i, 0> no son vectores propios.
Sin embargo, incorporan un movimiento sinusoidal horizontal y vertical. ¿Alguna idea de lo que ocurre cuando los juntamos?
Intentando <1, i> y <1, -i> :
Ahí lo tienen. Los gráficos de barras en fase de los vectores propios rotados están siendo rotados (correspondientes a los componentes en fase) a medida que se gira el vector. Otros vectores obtienen gráficos distorsionados al girarlos, por lo que no son eigenvectores.
¡Encantadora pregunta!
Hay una especie de manera intuitiva de ver los valores y vectores propios, y también se relaciona con las ideas geométricas (¡sin recurrir a las cuatro dimensiones!).
La matriz, es unitaria (más concretamente, es real por lo que se denomina ortogonal) y por tanto existe una base ortogonal de vectores propios. En este caso, como se ha señalado, es $\pmatrix{1 \\i}$ y $\pmatrix{1 \\ -i}$ Llamémoslos $v_1$ y $v_2$ que forman la base de $\mathbb{C^2}$ y así podemos escribir cualquier elemento de $\mathbb{R^2}$ en términos de $v_1$ y $v_2$ también, ya que $\mathbb{R^2}$ es un subconjunto de $\mathbb{C^2}$ . (Y normalmente pensamos que las rotaciones se producen en $\mathbb{R^2}$ ¡! Tenga en cuenta que $\mathbb{C^2}$ es un espacio vectorial bidimensional con componentes en $\mathbb{C}$ y no es necesario considerarlo como cuatridimensional, con componentes en $\mathbb{R}$ .)
Podemos entonces representar cualquier vector en $\mathbb{R^2}$ de forma única como una combinación lineal de estos dos vectores $x = \lambda_1 v_1 + \lambda_2v_2$ con $\lambda_i \in \mathbb{C}$ . Así que si llamamos al mapa lineal que representa la matriz $R$
$$R(x) = R(\lambda_1 v_1 + \lambda_2v_2) = \lambda_1 R(v_1) + \lambda_2R(v_2) = e^{i\theta}\lambda_1 (v_1) + e^{-i\theta}\lambda_2(v_2) $$
En otras palabras, cuando se trabaja en la base ${v_1,v_2}$ : $$R \pmatrix{\lambda_1 \\\lambda_2} = \pmatrix{e^{i\theta}\lambda_1 \\ e^{-i\theta}\lambda_2}$$
Y sabemos que multiplicar un número complejo por $e^{i\theta}$ es una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj por theta. Así que la rotación de un vector cuando se representa por la base ${v_1,v_2}$ es lo mismo que girar las componentes individuales del vector en el plano complejo.
MyPreciousss
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357
La respuesta más sencilla a su pregunta es quizás sí. Los vectores propios de un valor propio genuinamente complejo son necesariamente complejos. Por lo tanto, no hay real vector que es un vector propio de la matriz. Ignorando, por supuesto, los casos agradables $\theta=0, \pi$ la rotación siempre hace algo más que reescalar un vector.
Por otro lado, si vemos la matriz como una rotación en $\mathbb{C}^2$ entonces los vectores propios que das muestran las direcciones en las que la matriz actúa como un operador de reescalado en el espacio complejo $\mathbb{C}^2$ . Espero que alguien tenga una respuesta mejor, me gustaría visualizar el complejo de dos espacios.
Roger Samelson
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He aquí una interpretación geométrica, en la que la condición del vector propio aparece como una relación de conmutación: http://www-po.coas.oregonstate.edu/~rms/notas/rot_eig.html
Rob Lachlan
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Un hecho curioso relacionado es que al pasar de afín a proyectivo, las dos direcciones complejas fijadas por cualquier rotación definen dos puntos en el infinito (de coordenadas proyectivas $[0:\pm i:1]$ ) llamado puntos cíclicos .
Entonces es fácil comprobar que todo círculo pasa por estos puntos cíclicos. Esto debe ser comparado con el teorema de Bezout--que dice (en particular) que dos cónicas cualesquiera se intersecan en 4 puntos (contando las multiplicidades)--y el hecho de que es imposible obtener más de 2 puntos que intersecten círculos afines.
