En realidad son lo mismo. Yo estoy acostumbrado a una notación ligeramente diferente y me ceñiré a la mía. Dejemos que $\{\omega^i\}_{i=1}^n$ sea un marco local ortonormal dual al marco ortonormal $\lbrace e_i\rbrace_{i=1}^n$ y definimos la conexión $1$ -forma $\omega_i^j$ por $\nabla _X e_i = \omega_i^j(X)e_j$ (notación de Einstein). Entonces, diferenciando $\delta_i^j=\omega^j(e_i)$ tenemos $\nabla _X \omega^j =-\omega_i^j (X)\omega^i$ .
La ecuación $d\omega^i=\omega^j\wedge \omega_j^i$ (nota que $\omega_i^j$ es $\omega_{ij}$ en la nota de Peter Li, y también $\omega_i^j=-\omega_j^i$ debido a la ortogonalidad), conocida como la (primera) ecuación estructural de Cartan, puede obtenerse mediante $$d\omega^i(X, Y)= (\nabla _X \omega^i)(Y)- (\nabla _Y \omega^i)(X)=-\omega^i_j(X)\omega^j(Y)+\omega^i_j(Y)\omega^j(X)=(\omega^j\wedge \omega ^i_j)(X, Y).$$ Alternativamente, a partir de lo anterior es fácil ver que si $\omega^i_j $ satisface la ecuación de Cartan, entonces $\nabla _X \omega^j =-\omega_i^j (X)\omega^i$ . Las formas de conexión 1 son exactamente el análogo de los símbolos de Christoffel en un sistema de coordenadas.
Recordemos que para una función $f$ la derivada covariante $\nabla f$ coincide con $df$ es decir $\nabla f(X)= df(X)(=X(f))$ . La segunda derivada covariante (es decir, el hessiano) viene dada por $\nabla ^2 f :=\nabla (\nabla f)= \nabla (df)$ . En un marco ortonormal, tenemos \begin{equation*} \begin{split} f_{ij}:=(\nabla ^2 f)(e_i , e_j)= (\nabla (\nabla f))(e_i, e_j):= (\nabla _{e_i}\nabla f)(e_j)= &\nabla _{e_i}(\nabla _{e_j}f)- (\nabla f)(\nabla _{e_i}e_j)\\ =& e_i(e_j(f))-(\nabla _{e_i}e_j)f\\ =& e_i(f_j)-(\nabla _{e_i}e_j)f. \end{split} \end{equation*} donde $f_j:= e_j(f)$ . Utilizando el lenguaje de los fotogramas en movimiento, este cálculo se convierte en \begin{equation*} \begin{split} f_{ij}= e_i(f_j)-f_k \omega_j^k(e_i). \end{split} \end{equation*} Como $dh=e_i (h) \omega^i$ para una función $h$ Esto significa que $$ f_{ij}\omega^i= df_j- f_k \omega^k_j= df_ j + f_k \omega_k^j.$$
Resulta que no importa si definimos $f_{ij}$ como $\nabla ^2 f(e_i, e_j)$ o $\nabla ^2 f (e_j, e_i)$ . Sin embargo, para la tercera derivada, el orden de $i, j, k$ sí importa. En la nota de Peter Li, $f_{ijk}$ se define como $(\nabla _k (\nabla ^2 f))(e_j, e_i)$ que en mi convención es $(\nabla (\nabla ^2 f))(e_k, e_j, e_i)= :\nabla ^3 f(e_k , e_j, e_i)$ . Teniendo esto en cuenta, ahora calculamos $f_{ijk}$ .
Como $\nabla ^2 f= f_{lm}\omega^l \omega^m$ tenemos \begin{equation*} \begin{split} f_{ijk}= (\nabla _k (\nabla ^2f))(e_j, e_i) =& \nabla _k (\nabla ^2 f (e_j , e_i))- \nabla ^2 f (\nabla _k e_j , e_i)-\nabla ^2 f ( e_j, \nabla _k e_i)\\ =&e_k(f_{ij})- \omega_j^l(e_k)f_{li}-\omega_i^l (e_k)f_{jl}\\ =& (df_{ij}- f_{li}\omega^l_k- f_{jl}\omega^l_i)(e_k) \end{split} \end{equation*} Por lo tanto, $$ f_{ijk}\omega^k=df_{ij}- f_{li}\omega^l_k- f_{jl}\omega^l_i=df_{ij}+f_{li}\omega^k_l+f_{jl}\omega^i_l.$$
