¿Por qué es un operador compacto el $A$?

Question

Que $X$ ser un espacio compacto y que $\mu$ ser una medida positiva de Borel en X. Que $T\in \mathscr{B}(L^p(\mu),C(X))$ donde $1\lt p \lt \infty$.

Mostrar si define $A:L^p(\mu)\rightarrow L^p(\mu)$ $Af=Tf$ y $A$ es un operador compacto.

Aquí está un ejemplo: que $X=[0,1]$, $\mu$ es la medida de lebesgue en $[0,1]$, p = 2.

$\forall f\in L^2(0,1)$, definir $T(f)=\int_0^1{f(x)e^{-ixy}}dx,y\in[0,1]$. Entonces $$A:L^2(0,1)\rightarrow L^2(0,1)$$ $% $ $f(x)\rightarrow \int_0^1{f(x)e^{-ixy}}dx, y\in[0,1]$es un operador compacto. (este es un operador integral)

¡Cualquier ayuda sería apreciada!

Answer 1

Yo lo tome usted está asumiendo que $\mu(X)<\infty$, creo que no funciona de otra manera.

En este caso, componer $T$ con el punto de evaluación en $x\in X$ para obtener el delimitada lineal funcional en $L^p$ que envía a $f\mapsto (Tf)(x)$. Esto demuestra que no existe $K(x,\cdot)\in L^q$, $1/p+1/q=1$, con $\|K(x,\cdot)\|_q\le \|T\|$, de tal manera que $$ (Tf)(x)= \int K(x,t)f(t)\, d\mu(t) . $$ Ahora para $p=2$ todo está claro: $K\in L^2(X\times X)$, de forma que el operador de Hilbert-Schmidt, y en particular compacto. Para general $1<p<\infty$, un criterio similar está disponible; véase el comentario en la parte inferior de la página. 7 de estas notas.

Answer 2

Usted necesita asumir que $\mu$ es finito, de lo contrario, tome $\mu$ la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$, vamos a $X$ ser el único punto de compactification de $\mathbb{R}$ e (identificación de $L^p(X)$$L^p(\mathbb{R})$) deje $Af:=f*\rho$ donde$\rho\in C^\infty_c(\mathbb{R})$$\int\rho=1$. A continuación, $A$ mapas de $L^p(X)\to C(X)$ continuamente (utilizamos el hecho de que $f*\rho$ desaparece en el infinito), pero no es compacto de $L^p(X)$ $L^p(X)$(żpor qué?).

Así que supongamos $\mu(X)<\infty$. Deje $(f_n)\subseteq L^p(\mu)$ ser un almacén de secuencia. Desde $L^p(\mu)$ es reflexiva, tenemos $f_n\rightharpoonup f$ algunos $f\in L^p(X)$ (hasta las subsecuencias), por lo que también tiene $Af_n\rightharpoonup Af$. Ahora para cualquier $x\in X$ $$ (Af_n)(x)\to (Af)(x), $$ dado que la evaluación en un punto es un continuo funcional en $C(X)$ $Af_n$ es débilmente convergente a $Af$. Por otra parte $\|Af_n\|_\infty\le\|A\|\|f_n\|_p$, así que podemos aplicar el teorema de convergencia dominada a la conclusión de que $$ \int_X |Af_n-Af|^p\,d\mu\to 0 $$ como $n\to\infty$ (aquí estamos usando la finitud de $\mu$). Por lo $Tf_n\to Tf$$L^p(X)$, lo que demuestra la solidez de $T$.