$2^{1/3} + 2^{2/3}$ Es irracional

Question

¿Qué es el 'truco' interesante para mostrar que la siguiente expresión es irracional?

$2^{1/3} + 2^{2/3}$

Answer 1

$2-1=(2^{1/3}-1)(2^{2/3}+2^{1/3}+1)$ Ahora si $2^{1/3}-1$ es irracional entonces así es $2^{2/3}+2^{1/3}+1$ porque un producto de un racional y el irracional es irratonal, lo que implica entonces que $2^{2/3}+2^{1/3}$ es irracional. Si puede probar $2^{1/3}-1$ es irracional de lo es

Answer 2

Que elevar a la potencia de $x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$ $3^{rd}$ y expansión de la binomial a la derecha:

$$x^3 = (\sqrt[3]{2})^3 + 3 \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} \cdot (\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}) + (\sqrt[3]{4})^3 = 6 x + 6$$

Por el teorema de la raíz racional, la ecuación de $x^3-6x-6=0$ sólo puede tener divisores de $6$ como raíces racionales, pero fácilmente se comprueba que ninguno de los divisores es en realidad una raíz. Por lo tanto es irracional $x$.

Answer 3

Aquí un poco más 'maza': desde $x^3-2$ es irreducible sobre los racionales, el polinomio mínimo de la raíz de la $z=2^{1/3}$ deben ser de grado tres. Pero si $2^{1/3}+2^{2/3}$ fueron racional, es decir $\frac ab$, entonces eso implicaría que $z+z^2=\frac ab$ o $bz^2+bz-a=0$, contradiciendo el mínimo grado de instrucción superior.

OTOH, tenemos un buen premio para esta "maquinaria pesada": el mismo argumento muestra en un solo golpe que $a2^{1/3}+b2^{2/3}$ es irracional para todos (distinto de cero) racional $a,b$; en otras palabras, $2^{1/3}$ $2^{2/3}$ son linealmente independientes sobre $\mathbb{Q}$.