Un anillo como Unión finita de los campos

Question

Deje un anillo de $R$ ser finito, de la unión de campos todos tienen la misma unidad. Quiero demostrar que la $R$ es en sí mismo un campo.

Escribí $R=\bigcup _{i=0}^{n}F_i$, $F_0=\{0,1\}$ $F_i$'s son los campos. Desde que lidiar con un número finito de la unión, no debe existir $j\geq 1$ tal que $F_k\subseteq \bigcup _{i=k+1}^nF_i$$k<j$, pero $F_j\nsubseteq \bigcup _{i=j+1}^nF_i$ . Luego me puse a $B=\bigcup _{i=j+1}^nF_i$. Sin duda, tenemos $R=\bigcup _{i=j}^nF_i$. He intentado mostrar que $R=F_i$, para uno de los últimos $F_i$'s. Supongo que no, por lo que podría optar $b\in B-F_j$ (debido a $F_j\neq R$) y $a\in F_j-B$. El elemento $ab\in R$ es de $F_j$ o en $B$. En el primer caso, $b=a^{-1}ab\in F_j$, lo cual es una contradicción. En el otro caso, podríamos deducir que $a=abb^{-1}\in B$ para llegar a una contradicción? De hecho, $b$ $b^{-1}$ están en $B$. Pero, no estamos seguros de si $B$ es multiplicatively cerrado al alcance de la mano la contradicción.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Advertencia: Este argumento tiene un hueco. Necesito el siguiente resultado:

Lema. Suponga que $V$ es un espacio vectorial sobre un campo finito $K$ que es una unión finita de una adecuada subespacios $V_i, i=1,2,\ldots,n$. A continuación, al menos para algunos $i$ tenemos $\dim_KV/V_i<\infty$.

Esto es muy probablemente cierto, y por alguna razón pensé que iba a seguir desde que el argumento en mi vinculado respuesta. Por desgracia no, y no veo una forma de cerrar esperemos que este pequeño, pero crucial diferencia. Dejando el resto por el momento en caso de que inspire a alguien (sleeeeeepy).

---

Partiendo Chan Kifung del comentario.

Deje $K=\bigcap_i F_i$. Claramente $K$ es un subcampo de todos los campos de $F_i$ y, a su vez todos los campos $F_i$ $R$ sí son espacios vectoriales sobre $K$.

Por los resultados de este hilo un espacio vectorial puede ser una unión finita de una adecuada subespacios sólo cuando el campo $K$ es finito y algunos (muchos) de los subespacios tienen un número finito de codimension.

Si algunos de $F_i$ es de $R$ hemos terminado, así que nos quedamos con el caso de $|K|<\infty$ y se puede inferir que existe al menos un subcampo $F_i$ tal que $\dim_K(R/F_i)$ es finito. Pero, como $F_i$ fue asumido para ser un adecuado subespacio de $R$, $\dim_{F_i}R>1$ y, por tanto,$\dim_{F_i}(R/F_i)\ge1$. En el otro lado $$ \dim_K(R/F_i)=\dim_{F_i}(R/F_i)\cdot \dim_K F_i\ge \dim_K F_i, $$ así que podemos concluir que el $\dim_K F_i<\infty$ y, por tanto, $F_i$ es un campo finito. Pero por las razones arriba mencionadas, esto implica que $\dim_KR=\dim_K F_i+\dim_K(R/F_i)<\infty$.

La conclusión es que el $R$ es un anillo finito. Fue señalado por muchos de los que $R$ es necesariamente un anillo de división. Una por el teorema de Wedderburn establece que cualquier finito de la división de anillo es conmutativo, es decir, un campo.

Answer 2

Kaplansky ha demostrado en Revista Canadiense de las Matemáticas, Vol.3 (1951), pp 290-292, que un anillo de $R$ por cada elemento de a $x$ de los que existe un entero $n( x)$ $x^{n(x)}\in Z(R)$ donde $Z(R)$ es el centro de la $R$, es conmutativa. Podemos demostrar esto para nuestro anillo de $R$. De hecho, si $n$ es el número de campos en la unión, y $a,x\in R$ son arbitrarias elementos, entonces al menos dos de los elementos $a,ax,ax^2,\dots ,ax^n$ a caer en algunas de campo, y por lo tanto viaje. Por lo tanto, tenemos $ax^kax^j=ax^jax^k$, para algunos enteros $k>j\geq 0$. Por lo tanto, $x^{k-j}a=ax^{k-j}$. Desde $0<k-j\leq n$, se puede concluir que la $$x^{n!}a=ax^{n!}.$$By what is proved by Kaplansky, we infer that the division ring $R$ (cuyo elemento es la unidad común de los campos en virtud de la unión) es conmutativa, por lo tanto un campo.