Podemos demostrar que hay countably muchas clases de isomorfismo de compacto Mentira grupos sin recurrir a la clasificación de simple álgebras de Lie?

Question

Es un trivial hecho de que sólo hay countably muchas clases de isomorfismo de compacto Mentira grupos. Uno puede demostrar esto a través de una serie de reducciones: de la primera a la que se conectarán caso, entonces el simplemente se conecta caso, a continuación, mediante una clasificación simple de álgebras de Lie. Por supuesto, esta prueba le da mucho más resultado de clasificación.

Si yo sólo quiero demostrar que hay countably muchas clases de isomorfismo de compacto Mentira grupos, puedo trabajar sin recurrir a la clasificación de simple álgebras de Lie? Tengo algunas ideas que implican Tannaka del teorema, pero no he trabajado a cabo una prueba todavía.

Answer 1

1. Esto es suficiente para mostrar que para cada una de las $n$, sólo hay countably muchos que no son isomorfos compacto $n$-dimensiones de álgebras de Lie.

2. Deje $M_n$ ser el espacio de $n$-dimensiones de álgebras de Lie: Esto es una cierta variedad afín. De acuerdo a http://mathoverflow.net/questions/47447/deformations-of-semisimple-lie-algebras (ver a Ben Webster respuesta, que no hace uso de ninguna teoría de la estructura), para cada compacto Mentira álgebra $g\in M_n$, cerca de álgebras de Lie son isomorfos a $g$. Por lo tanto, el subconjunto $C_n\subset M_n$ consiste compacto de álgebras de Lie es discreto y, por lo tanto, contables.