Números de intersección y multiplicidades en Fulton ' libro s

Question

Estoy leyendo las Curvas Algebraicas por Fulton , donde el concepto de intersección de los números es introducido en la página 36. Dan tanto la definición $$I(P,F\cap G) = \mathcal{O}_P(\mathbb{A^2})/(F,G)$$ Y una caracterización del uso de 7 propiedades. El 5 de propiedad de aquellos que es: $$I(P,F\cap G) \geq m_p(F)m_p(G)$$ Donde $m_P(F)$ es la multiplicidad de $P$$F$. Se discute también cuando esta desigualdad es una igualdad, pero que no es parte de mi pregunta. La prueba de que dan es la siguiente:

Pregunta: en Donde se utilice el hecho de que $m$ $n$ son las multiplicidades involucradas? ¿Qué parte de la prueba no sería cierto si cambiamos $m$ o $n$?

Answer 1

Creo que es en la definición de $\psi$. No queremos $\psi(\overline A, \overline B) = \overline{AF + BG}$ dependen de la representante de $\overline A = A + I^n$ o $\overline B = B + I^m$. Así que si $N \in I^n$ y $M \in I^m$ luego nos queremos

$$NF + MG \in I^{m + n}.$$

Esto funciona porque $m_P(F) = m$ (donde $P = (0,0)$) dice exactamente que $F$ consiste en términos de grado de $\ge m$ que es exactamente la instrucción $F \in I^m$. Asimismo, $G \in I^n$. Así $NF + MG \in I^{m + n}$.