¿Cuándo es el tiempo un grado de libertad?

Question

¿Cuándo es el tiempo un grado de libertad ? Estaba haciendo un problema, y cometí un error y dije que

$\vec{\nabla} \cdot \vec{F}(\vec{r},t) = \frac{\partial F(\vec{r},t)}{\partial x} + \frac{\partial F(\vec{r},t)}{\partial y} + \frac{\partial F(\vec{r},t)}{\partial z} + \frac{\partial F(\vec{r},t)}{\partial t}$

Esto, descubrí, es incorrecto, ya que la derivada temporal parcial debería omitirse. Mi pregunta se refiere a la razón de ello. ¿Cuándo tratamos el tiempo como un grado de libertad que debe incluirse en la divergencia (o rizo o gradiente (en el caso de una función escalar))?

Answer 1

Lo que has escrito incluso sin la derivada temporal es erróneo; recuerda que la divergencia lo es,

$$\nabla \cdot \vec F = \partial_x F_x + \partial_y F_y + \partial_z F_z$$

y no las derivadas que actúan sobre el conjunto de $\vec F$ como escribiste. Ahora, si queremos incluir una derivada temporal en la divergencia, sólo tiene sentido si $\vec F$ tiene un componente temporal.

Esto ocurre en el caso de la relatividad general, donde podemos considerar algún vector $v^\mu$ con un índice que supera $\mu = 0, \dots, 3$ donde $v^0$ es un $t$ -(o la coordenada temporal correspondiente).

Podríamos entonces escribir una divergencia utilizando la derivada covariante,

$$\nabla_\mu v^\mu = \partial_\mu v^\mu + \Gamma^{\mu}_{\mu \nu}v^\nu$$

y en el caso del espacio plano de Minkowski, esto se reduce al concepto original que pensaste, que es simplemente,

$$\partial_\mu v^\mu = \partial_t v^t + \partial_x v^x + \partial_y v^y + \partial_z v^z.$$

Answer 2

En general, el operador nabla, en todas sus formas, afecta sólo a las coordenadas espaciales. No debe incluir la derivada temporal en gradientes, divergencias, rizos o laplacianos. Puedes tomarlos como definición; sólo que no incluyen derivadas temporales.

Es cierto que para la relatividad especial y los niveles superiores, la cantidad $ct$ se considera la 4ª variable, por lo que el laplaciano se generaliza a lo que se denomina "d'Alambertian", que incluye un $-\frac{\partial F}{\partial (ct)}$ .

Pero el tiempo es independiente en la física clásica. Es un "tipo diferente" de coordenada, y no debe tomarse cuando se trata de "operadores espaciales".

Answer 3

Podría venir bien Cuatro gradientes . En la Relatividad General, el tiempo y el espacio deben situarse en el mismo plano.

Por lo tanto, se pueden utilizar derivadas espacio-temporales mixtas en relatividad.