¿Cuál es el significado del cociente $m/m^2$?

Question

Esta es una pregunta curiosa más que nada. En muchas situaciones en álgebra conmutativa, $m$ $m^2$ (o mejor, $m^k$$m^{k+1}$, $k \geq 0$ un entero) ocurren juntos, donde $m$ es un ideal maximal de un anillo de $R$ o $m$ $R$- módulo, donde a veces hay supuestos en los que el cociente $m/m^2$ o condiciones de algún ideal/módulo se extiende entre los poderes: $m^2 \subseteq I \subseteq m$.

Siempre me he preguntado cuál es el significado de esto es. ¿Cuál es la expresión algebraica (o tal vez geométricas) la intuición relativa $m$ $m^2$ (en contexto)? Por ejemplo, decir que el $R$ es local para la simplicidad. A continuación, $K = R\otimes \frac{R}{m}$ es el residuo de campo, y teniendo en cuenta $K$ $R$- módulo, $K \otimes m = m/m^2$. Por otro lado, si $m$ cualquier $R$-módulo, otras propiedades de $m/m^2$ ser interesante. Estos ejemplos apuntan a algo? Matsumura, el álgebra Conmutativa está plagado de cocientes y potencias de esta forma, pero nunca he conseguido (o recordado) cualquier explicación o de la intuición de por qué las anteriores situaciones se presentan tan a menudo. Gracias de antemano.

Answer 1

Si ${\mathcal{O}_{X,p}}$ es el anillo local de una variedad/esquema/colector en un punto p y ${\mathfrak{m}_p}$ su ideal maximal, entonces el espacio cotangente de $X$ a p ${\mathfrak{m}_p}/{\mathfrak{m}_p}^2$. También tenemos $\operatorname{Hom} \left( {{\mathfrak{m}_p}/{\mathfrak{m}_p}^2,k} \right) \cong \operatorname{Der} \left( {{\mathcal{O}_{X,p}},k} \right)$ donde k es el residuo de campo en p.

Considerar el anillo local $R = C_{{\mathbb{R}^n},0}^\infty $. A continuación, $R/{\mathfrak{m}^2}$ se divide canónicamente como $\mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}/{\mathfrak{m}^2}$. Así que consideren $f \in R$ y mirar a la expansión de Taylor $f\left( {{x_1},...,{x_n}} \right) = f\left( 0 \right) + {\sum {\left. {\frac{{\partial f}}{{\partial {x_i}}}} \right|} _0}{x_i} + r\left( {{x_1},...,{x_n}} \right)$.

Ver $f\left( 0 \right)$ se encuentra en $\mathbb{R}$, el resto de los $r\left( {{x_1},...,{x_n}} \right)$ se encuentra en ${\mathfrak{m}^2}$, y nos quedamos con el diferencial de $\operatorname{d} f = {\sum {\left. {\frac{{\partial f}}{{\partial {x_i}}}} \right|} _0}{dx_i}$ en nuestro espacio cotangente (donde el diferencial mapa se ve como la natural proyección de $\operatorname{d} :R \to \mathfrak{m}/{\mathfrak{m}^2}$ bajo esta división).

Answer 2

El cociente puede ser hecha en un espacio vectorial sobre $A/\mathfrak{m}$. En este caso, es el Zariski la Cotangente del espacio (después de la localización) y es isomorfo al espacio de la tangente de una variedad algebraica.

Permite considerar las curvas. uno puede ver el cociente $k[x,y]/\mathfrak m$ como un organismo coordinará anillo (funciones en una variedad) alrededor de un punto asociado a la máxima ideal (por nullstellensatz. Elementos en la máxima ideal son las funciones interesantes (polinomios) que sobreviven después de formar el anillo local. Mayor grado de los polinomios no son lineales, por lo que el modding cualquier grado superior polinomios deja sólo las funciones lineales definidas alrededor de su punto. El espacio de las funciones lineales a través de un punto definido en una variedad es exactamente la cotangente del espacio.

aquí es un poco más involucrados discusión de la regularidad de las condiciones en términos de la cotangente del espacio (en un post del blog me apunté hace unos meses.)