¿Por qué estos ' primaria ' hechos no solucionan el problema inverso de Galois?

Question

¿Puesto que cada grupo finito $G$ es isomorfo a un subgrupo de $S_{n}$ y de acuerdo con la primera respuesta a esta pregunta siempre es (para todo $n\geq 1$) un finito Galois extensión $K/\mathbb{Q}$ $\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong S_{n}$, no el teorema Fundamental de la teoría de Galois da una positiva respuesta al problema inverso de Galois?

¿Dónde está el punto obvio falto? ¡Gracias!

Answer 1

Si a continuación los elementos elementos de $H\subset \mathrm{Gal}(K/\mathbb Q)$ fijo $K$ $H$ es un campo $k$, y: $H\cong\mathrm{Gal}(K/k)$.

Pero la inversa pregunta de Galois es $k$ así que $H\cong \mathrm{Gal}(k/\mathbb Q)$.