Un subconjunto de $[0,1]\times[0,1]$ que contiene a más de un punto de cada sección vertical y horizontal, cuyo límite es $[0,1]\times[0,1]$

Question

¿Cómo puede uno construir un subconjunto $A\subset [0,1]\times[0,1]$ que contiene a lo más un punto de cada sección vertical y cada horizontal y cuyo límite (frontera) es $[0,1]\times[0,1]$?

No sé cómo construir este conjunto. Sé que si $A$ contiene puntos en cada cuarto de la Plaza es suficiente.

Answer 1

Deje $\alpha, \beta$ dos irrationals tal que $\alpha/\beta$ es también irracional. ¿Qué se puede decir sobre el conjunto $$A=\{(n\alpha \mod 1,n\beta\mod 1):n\in \Bbb Z\}?$$

Edit: probablemente yo debería dar algo más consejos:

1. El hecho de $A$ contiene más de un punto en cada vertical/horizontal de la raya de la siguiente manera por la irracionalidad de $\alpha$$\beta$.
2. El conjunto $\{(n\alpha,n\beta):n\in \Bbb Z\}$ es denso en la línea de $\{(t\alpha,t\beta):t\in \Bbb R\}$. Ahora envuelva esa línea alrededor de la unidad cuadrada de $[0,1]\times [0,1]$, el uso de la irracionalidad de $\alpha/\beta$.

Edit 2: Como Thomas señaló en el comentario, Declaración 2. anterior no es correcto, a menos $n\in \Bbb Q$. Uno, a continuación, puede modificar el conjunto de $$A'=\{(r\alpha\mod 1,r\beta\mod 1):\color{red}{r\in\Bbb Q}\}.$$ Tenga en cuenta que el original $A$ todavía funciona, no sólo con el argumento dado.

Answer 2

También puede hacer esto mediante la construcción de una función $f: [0, 1] \rightarrow [0, 1]$, que $f$ es identidad en irrationals, $f$ restringido a racionales es una biyección y la gráfica de $f$ es densa en el cuadrado unidad. Sólo lista una base contable $\{B_n : n \geq 1\}$ y indutively aseguran que la gráfica de $f$ recoge un punto de cada $B_n$.