Deje $S^1$ ser la unidad de la esfera de $x_1^2+x_2^2=1$ $\mathbb{R}^2$ y deje $X=S^1\times S^1\in\mathbb{R}^4$ con la definición de las ecuaciones de $f_1=x_1^2+x_2^2-1=0, f_2=x_3^2+x_4^2-1=0$. El campo de vectores $$w=x_1\frac\partial{\partial x_2}-x_2\frac\partial{\partial x_1}+\lambda\left(x_4\frac\partial{\partial x_3}-x_3\frac\partial{\partial x_4}\right)$$ ($\lambda\in\mathbb{R}$) is tangent to $X$ and hence defines by restriction a vector field $v$ on $X$. What is the one-parameter group of diffeomorphisms that $v$ genera?
La definición de un parámetro del grupo de diffeomorphisms que estoy usando es el siguiente:
Deje $U$ ser un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ $F : U \times \mathbb{R} \rightarrow U$ $C^{\infty}$ asignación. La familia de las asignaciones de $f_t: U \rightarrow U$ , $f_t(x) = F(x, t)$ se dice que es un parámetro del grupo de diffeomorphisms de $U$ si $f_0$ es la identidad mapa y $f_s \cdot f_t = f_{s+t}$ para todos los s y t.
Primero de todo, estoy confundido ¿cómo esta definición se puede aplicar a nuestra situación. El campo de vectores $v$ no está presente en cualquier lugar en la definición de un grupo de parámetros de diffeomorphisms. Pero tiene que ser relevante en alguna parte, ¿verdad?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este vector de campo corresponde a la siguiente ODA en $\mathbb{R}^4$:
$$ \left ( \begin{array}{right} \\ \dot{x_1}\\ \dot{x_2} \\ \dot{x_3} \\ \dot{x_4} \end{array} \right) = \left ( \begin{array}{right} \\ -x_2 \\ x_1 \\ \lambda x_4 \\ -\lambda x_3 \end{array} \right ). $$ En realidad, la dinámica de $x_1$, $x_2$ está desacoplado de la dinámica de $x_3$, $x_4$ y ecuaciones puede ser resuelto fácilmente. Si representamos los pares de $(x_1, x_2)$ $(x_3, x_4)$ como números complejos $z_1 = x_1 + ix_2$ $z_2 = x_3 + i x_4$ a partir del círculo unidad en $\mathbb{C}$, entonces la solución puede ser escrito en forma de $(e^{i(t + \phi_1)}, e^{i(-\lambda t + \phi_2)})$ donde $\phi_1$ $\phi_2$ puede ser derivado del problema de valor inicial para educación a distancia. Bueno, esto es: la de un grupo de parámetros de diffeomorphisms generados por este campo de vectores. Toma un arbitratry punto de $x^{(0)} = (x^{(0)}_1, x^{(0)}_2, x^{(0)}_3, x^{(0)}_4)$; corresponde a $(z^{(0)}_1, z^{(0)}_2)$, donde $z^{(0)}_1 = e^{i\phi^{(0)}_1}$, $z^{(0)}_2 = e^{i\phi^{(0)}_2}$. La acción $F(x^{(0)}, t)$ es la siguiente: $$ F(x^{(0)}, t) = \left ( \mathrm{Re} \left ( e^{i\left(t + \phi^{(0)}_1\right)} \right), \mathrm{Im} \left ( e^{i\left(t + \phi^{(0)}_1\right)} \right), \mathrm{Re} \left ( e^{i\left(-\lambda t + \phi^{(0)}_2\right)}\right), \mathrm{Im}\left ( e^{i\left(-\lambda t + \phi^{(0)}_2\right)} \right) \right). $$ Las propiedades del complejo exponenti es un hecho clave para mostrar que $F(x, t)$ es un grupo de parámetros de diffeomorphisms.
