¿Cómo demostrar que $\lVert \Delta u \rVert_{L^2} + \lVert u \rVert_{L^2}$ y $\lVert u \rVert_{H^2}$ son normas equivalentes en un dominio acotado? Oigo que hay una manera de hacerlo por RRT, pero cualquier otra manera está muy bien. Gracias.
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tks
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Como esto es cierto limitado dominios lisos y pueden obtenerse directamente de la teoría de la regularidad de límite expuesta en Evans user53153.
PERO: considerar el dominio $\Omega=\{ (r \cos\phi,r \sin\phi); 0<r<1, 0<\phi<\omega\}$ $\pi<\omega<2\pi$. Entonces la función $u(r,\phi)=r^{\pi/\omega}\sin(\phi\pi/\omega)$ (en coordenadas polares) satisface $\Delta u=0$ $\Omega$ y está claramente delimitado. Por otro lado los derivados segunda saltar como $r\rightarrow 0$, más específicamente $u\not\in H^2$!
