¿Grupo cociente G/G = {identidad}?

Question

Sé que esto es una cuestión básica, pero estoy tratando de convencerme de la declaración de Wikipedia. "El cociente grupo $G / G$ es isomorfo al Grupo trivial".

Escribo la definición de multiplicación izquierda porque la izquierda cojunto = cojunto adecuado. $ G/G = \{g \in G : gG\} $ Pero ¿cómo es este isomorfo al Grupo trivial, $ \{id_G\} $? ¿no puede simplificarse $gG$ $id_G$?

Gracias.

Answer 1

Bien, perdóname por llegar a todos los técnicos, pero esto no es correcto: $G/G = \{ g \in G \colon gG\}$. Debería ser al revés: $G/G = \{ gG |\, g \in G \}$.

Siguiente, nos deshacemos de las $g$ por darse cuenta de que $gG = G$ cualquier $g \in G$. Por lo tanto, $G/G = \{G\}$, es decir, $G/G$ es un conjunto con exactamente 1 elemento, y este elemento es $G$ sí.

Ahora, la siguiente cosa es darse cuenta de cómo la operación en $G/G = \{G\}$ obras. Esto funciona así: $G \cdot G = G$. Exactamente igual que la de la trivial grupo $\{1\}$: $1 \cdot 1 = 1$. Así, el mapa de $G/G \to \{1\}$ que envía a $G$ $1$es un grupo de isomorfismo.

Yo sé, yo sé, esta puede ser la peor manera de explicar estas cosas. Hay muchos triviales fórmulas de allí. Pero puede ser bueno para convencer a sí mismo de algo.

Answer 2

Considerar el cero % de homomorfismo $\phi:G\rightarrow G$. Entonces el $\ker\phi=G$, $\mathrm{Im}\phi =\left\{id_G\right\}$ y desde el primer teorema de isomorfismo $\frac{G}{\ker\phi}\cong \mathrm{Im}\phi$ que por supuesto implica que el $G/G\cong \left\{id_G\right\}$

Answer 3

$\operatorname{id}_G$ no es un elemento de $G/G$. Los elementos de $G/G$ son conjuntos de la forma $gG$ $g\in G$. $gG=G$ % Todo $g\in G$, así que hay solamente un sistema de cooperación.

Ahora sólo tienes que convencerte que todos los grupos con sólo uno de los elementos son isomorfos. Es bastante fácil de hacer.

Answer 4

Tal vez le ayudará a primer vistazo al diferente coeficiente de grupo y, a continuación, ver el $G/G$.

Supongamos que usted tiene un subgrupo $H$ $G$ que es exactamente la mitad del tamaño de $G$. El factor grupo $G/H$ es el conjunto de cosets de H en G. ¿Cuáles son estos cosets?

Si se multiplica todo en $H$ por un elemento que se encuentra en $H$, recibes $H$. Si haces lo mismo con algunos fijos $g_0\in G$ tal que $g_0\notin H$, el resultado coset $g_0H=\{g_0h : h \in H\}$ no tiene elementos en común con $H$. (Si es que tenía un poco de $g_0h\in H$, por el cierre de la $g_0hh^{-1}=g_0\in H$, una contradicción.) Desde $g_0H$ es del mismo tamaño que $H$, que es la mitad del tamaño de $G$, $H$ y $g_0H$ juntos hacer que todos los elementos de la $G$. Esto significa que para cualquier $g'\in G$ que elija, cualquiera de las $g'H=H$ o $g'H=g_0H$; en otras palabras, estos son los dos únicos cosets.

Así que tenemos que $G/H=\{H, g_0H\}$. La operación para un factor de grupo es $(aH)(bH)=(ab)H$, para cualquiera de los dos cosets $aH,bH\in G/H$. Así, por ejemplo, $(g_0H)(g_0H)=(g_0^2)H$. (Para el coset "$H$" es más fácil pensar que es como tener un invisibles $\text{id}_G$, lo $(g_0H)(H)=(g_0\text{id}_G)H=g_0H$. Así tenemos que el $H=\text{id}_{G/H}$.) En particular, $G/H$ es un grupo con $2$ elementos, por lo que sabemos que es isomorfo a $\mathbb{Z}_2$ debido a que es el único grupo de la orden de $2$.

Ahora vamos a intentar hacerlo con $G/G$.

Bien, $gG=G$ cualquier $g\in G$. Así que es la única coset. Por lo tanto $G/G=\{G\}$, e $\text{id}_{G/G}=G$. Tiene sólo un elemento, por lo que debe ser isomorfo al grupo sólo con un elemento, el trivial grupo.

Answer 5

$G/G$ tiene sólo un elemento, que es $G$. Por lo tanto, este grupo es trivial.