Algunas cuestiones sobre determinantes complejos y conexiones planas en un $U(1)$ paquete

Question

Inspirado por Interpretación geométrica del determinante de una matriz compleja , hago las siguientes preguntas relacionadas.

El determinante complejo está determinado hasta un factor de escala global por el hecho de que es multilineal y sesgado-simétrico. Intentemos comprender la fase del determinante. Para ello, limitemos nuestra atención a $G = U(n)$ . Sea $E = G \times U(1)$ sea el trivial $U(1)$ haz de la mano sobre $G$ . Sea $T$ denota un toro maximal de $G$ para fijar las ideas, supongamos que es la formada por todas las matrices diagonales en $G$ . Sea $N(T)$ denota el normalizador de $T$ en $G$ . $N(T)$ es el producto semidirecto de $T$ con el grupo simétrico $S_n$ ( $S_n$ es el grupo de permutación completo en $n$ elementos). Ahora podemos decir que el determinante es una sección global suave $s$ de $E$ en $G$ que es más $N(T)$ -equivariante.

Pregunta 1: ¿determinan estas propiedades $s$ ¿hasta un factor de fase global?

Si dejamos que $\nabla$ denota la única conexión plana en $E$ que hace que la función determinante real sea paralela (es decir, covariantemente constante) en todas partes, entonces si exigimos que la sección $s$ sea covariantemente constante con respecto a $\nabla$ entonces recuperamos la función determinante de forma única hasta un factor de fase global, y las propiedades de simetría bajo $N(T)$ se satisfacen automáticamente.

Lo que queda por hacer, es describir esta conexión plana $\nabla$ en $E$ de una manera que no implique la función determinante, para evitar la circularidad.

Lo que sabemos sobre $\nabla$ es que es una conexión plana en la trivial $U(1)$ paquete $E$ en $G = U(n)$ , tal que existe una sección paralela global $s$ único hasta un factor de fase global, que es equivariante bajo $N(T)$ .

Pregunta 2: ¿cómo puede $\nabla$ ¿se puede definir directamente (por ejemplo, utilizando las formas 1 de Maurer-Cartan y cosas geométricas por el estilo)?

Edición: El objetivo de mi post, es poder definir la función determinante sobre $U(n)$ simplemente como una sección paralela (paralela con respecto a la conexión $\nabla$ ) que tiene el valor 1 en la identidad.

Answer 1

La respuesta a su pregunta 1 es "no", hay otras secciones lisas globales de $E$ que son invariantes bajo $N(T)$ . Por ejemplo, la sección $s:G\to E = G\times \mathrm{U}(1)$ definido por $s(A) = (A,1)$ es también una sección suave global que es invariante bajo $N(T)$ . De hecho, si $f:G\to\mathbb{R}$ es cualquier $N(T)$ -invariante (como, por ejemplo, $f(A) = |\mathrm{tr}(A)|^2$ ), entonces $s(A) = (A,\mathrm{e}^{i\,f(A)})$ es un suave $N(T)$ -sección invariante de $E$ .

La respuesta a su pregunta 2 es la siguiente: Debe especificar la conexión $1$ -formar en $E$ . Si $p:E\to \mathrm{U}(1)$ es la proyección sobre el segundo factor, entonces se toma la conexión $1$ -forma de ser $$ \pi = p^{-1}\,\mathrm{d}p - \mathrm{tr}(g^{-1}\,\mathrm{d}g), $$ donde $g:E\to G$ es la proyección sobre el primer factor. Entonces la sección $s:G\to E$ definido por $s(A) = \bigl(A,\det(A)\bigr)$ satisface $$ s^*\pi = (\det(A))^{-1}\mathrm{d}(\det(A)) - \mathrm{tr}(A^{-1}\,\mathrm{d}A) = 0, $$ así que $s$ es un $\nabla$ -sección paralela de $E$ , donde $\nabla$ es la conexión cuya canónica $1$ -forma es $\pi$ .