¿Qué es una "conjunto como clase"?

Question

Solo / Weese contiene el siguiente teorema (p 126):

Teorema 5: Deje $\mathbf Z \neq \varnothing$ y deje $\mathbf W \subseteq \mathbf Z \times \mathbf Z$ ser justificado establecer-como clase. Deje $\mathbf G$ ser una clase funcional tal que $dom(\mathbf G)$ se compone de todos los pares de la forma $\langle f,z \rangle$ donde $z \in \mathbf Z$ $f$ es una función con dominio de $I_{\mathbf W}(z)$. Entonces existe exactamente una clase funcional $\mathbf F : ]\mathbf Z \to \mathbf V$ tal que $$ \mathbf F (z) = \mathbf G ( \mathbf F \mid I_{\mathbf W} (z), z) \hspace{0.5 cm} \forall z \in \mathbf Z$$

En la misma página antes de que el teorema de escribir "...En el Capítulo 12 veremos que la existencia de un definibles, como wellorder de que el universo es relativamente consistente con $ZFC$. ..."

Yo no soy consciente de que en cualquier otro lugar del libro donde la palabra "conjunto" se utiliza, en particular, no una definición de lo que significa. Podría alguien darme la definición de "conjunto" de la clase y que me explique qué significa? Muchas gracias por tu ayuda.

Answer 1

Creo que en este caso debería ser "set-como bien fundada relacional de la clase" o algo así. El punto es que para cada una de las $x \in \mathbf{Z}$ clase $\{ z \in \mathbf{Z} : z \mathrel{\mathbf{W}} x \}$ es en realidad un conjunto.

De hecho, en p.125 Justo Weese dar la siguiente definición:

Relacional de la clase $\mathbf{W}$ se dice que se establece-comosi $$ (\forall x) (\exists y) ( y = \{ z : \langle z,x \rangle \in \mathbf{W} \} ).$$

Aviso que esto es precisamente lo que usted necesita con el fin de afirmar la existencia de una función de este tipo(al de la clase) $\mathbf{G}$ en la hipótesis del teorema. Si $I_{\mathbf{W}} ( z )$ eran de una clase adecuada para algunos $z \in \mathbf{Z}$, entonces no podía ser de pares de la forma $\langle f , z \rangle$ donde $\mathrm{dom} ( f ) = I_{\mathbf{W}} (z)$, ya que el $f$ debe ser un conjunto, y por tanto su dominio debe ser un conjunto, que no puede ser. (Recordar que sólo los conjuntos de real existencia en ZF(C)). Además, la función(al de la clase) $\mathbf{F}$ que el teorema afirma que existen del mismo modo, no podría existir porque no podría ser definido en un $z$.

Para un ejemplo de un bien fundado relacional de la clase en la que no se establece-como, considere la posibilidad de $\mathbf{W} \subseteq \mathbf{On} \times \mathbf{On}$ definido por $$\langle \alpha , \beta \rangle \in \mathbf{W} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{cases} 0 < \alpha < \beta, &\text{or}\\ \beta = 0 \wedge \alpha \neq 0. \end{casos}$$ This is a "well-ordering" of $\mathbf{On}$ which makes $0$ the unique maximum element (but otherwise retains the usual ordering of $\mathbf{A}$). Clearly $I_{\mathbf{W}} ( 0 ) = \mathbf{A} \setminus \{ 0 \}$ no es un conjunto.