Completar enrejados en $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ ordenaron por $\leq$

Question

A la cita de mis notas de la conferencia:

Cuando cada subconjunto de a tiene Un lub y glb, podemos decir que el orden es un completo entramado, pero esto nos lleva más allá del plan de estudios. Es de destacar que a $\mathbb{Q}$, ordenados por $\leq$, no es un completo entramado sino $\mathbb{R}$, ordenados por $\leq$, es un completo entramado. Esta es la diferencia fundamental entre el$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$.

Por favor puede alguien explicar por qué esto es cierto? Yo no puedo ver lo que la lub de $\mathbb{R}$, de la misma manera que yo no puedo ver una lub para $\mathbb{Q}$.

Answer 1

El libro está equivocado; por ejemplo, $A=\mathbb{R}\subseteq \mathbb{R}$ no tiene g.l.b. o l.u.b. en $\mathbb{R}$, lo $\mathbb{R}$ no es un completo entramado. Sin embargo, $\widehat{\mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{ - \infty, \infty \}$ es un completo entramado, donde declaramos $-\infty < r < \infty$ todos los $r \in \mathbb{R}$.

Pero incluso esta modificación no ayuda en el caso de $\widehat{\mathbb{Q}} = \mathbb{Q} \cup \{ -\infty, \infty \}$.

Consideremos el conjunto $$A = \{ x \in \mathbb{Q}\, :\, x^2 > 2 \} \subseteq \widehat{\mathbb{Q}}$$ Tiene un g.l.b. en $\widehat{\mathbb{Q}}$?

Respuesta:

No. Considerado como un subconjunto de $\mathbb{R}$, $\bigwedge A = \sqrt{2}$, que no es un número racional; y si $q<\sqrt{2}$ es racional (o $-\infty$) entonces existe un racional $q'$$q<q'<\sqrt{2}$, por lo que no $q<\sqrt{2}$ puede ser un g.l.b. Del mismo modo, no $q>\sqrt{2}$ puede ser un g.l.b. desde entonces $q \in A$ y no existiría $q' \in A$$q'<q$.

Answer 2

Tienes razón. En la definición habitual de integridad del enrejado, reales bajo el orden ordinario no forman un enrejado completo, ya que hay conjuntos de ilimitada.

Answer 3

Sus apuntes son confusamente escrito: desea distinguir entre "completar la celosía" y un "Dedekind completa" de orden parcial.

Tanto en $\mathbb Q$ $\mathbb R$ son incompletos celosías, significa que no hay supremum (menos de límite superior) y no infimum (mayor límite inferior) a menos que se agregan mediante la adición de $\{-\infty, \infty\}$.

Pero una diferencia principal entre los dos es que uno de ellos es Dedekind completa , mientras que el otro no lo es: $\mathbb R$ es Dedekind completo, mientras que $\mathbb Q$ no lo es. Para ver esto, compruebe que el par $\langle \{q \in \mathbb Q : q < \sqrt{2}\}, \{q \in \mathbb Q : q > \sqrt{2}\}\rangle$ es una brecha en $\mathbb Q$. Véase, por ejemplo, Sólo / Weese, página 54.

Answer 4

Es más fácil imaginar cuando consideramos subconjuntos específicos.

Consideremos el subconjunto $A=${$1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ...$}, donde los decimales de aproximación $\sqrt{2}$.

La menor cota superior de este subconjunto, en $\mathbb{R}$$\sqrt{2}$. Cada punto decimal en $A$ es de menos de $\sqrt{2}$, lo $\sqrt{2}$ es un límite superior. Y ya que no hay decimales en $A$ que ser arbitrariamente cerca de $\sqrt{2}$, no hay ningún número menor que $\sqrt{2}$ puede ser una cota superior para $A$. Por lo tanto, $\sqrt{2}$ es la menor cota superior de a $A$.

Por otro lado, en $\mathbb{Q}$, no es menos límite superior. Por qué? Supongamos que hay un mínimo de límite superior $L$. Claramente $L>\sqrt{2}$. Pero luego hay otro racional $L'$$L$$\sqrt{2}$, e $L'$ también es una cota superior para $A$. Por lo $L$ no fue el menos tal límite superior después de todo, la contradicción.

Era fácil mostrar que hay que $\mathbb{Q}$ no siempre tiene menos límites superiores, sino de mostrar que cualquier subconjunto acotado en $\mathbb{R}$ no tienen un mínimo de límite superior es mucho más complicado. Ver, por ejemplo, de abajo hacia arriba de la construcción de los reales por Dedekind cortes si quieres una prueba formal de que.