¿Explicación intuitiva del hecho de que el grupo fundamental del espacio base puede ser identificado como un conjunto con fibra?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico simplemente conectado y $p:(X,x) \to (B,b)$ sea un mapa de cobertura.

¿Hay alguna explicación intuitiva del hecho de que $\pi_1(B,b)$ es isomorfo a $p^{-1}(b)$ como un conjunto?

Conozco la prueba del resultado pero me interesa la explicación "intuitiva".

P.D.: Acabo de empezar a aprender a cubrir espacios.

Answer 1

Intuitivamente, la mejor manera de entenderlo es a través de la correspondencia mediante el levantamiento del camino.

Un bucle $\gamma$ en $(B,b)$ se eleva de forma única a un camino $\tilde{\gamma}$ en $(X,x)$ tal que $\tilde{\gamma}(0)=x$ y $\tilde{\gamma}(1)$ es un punto en $p^{-1}(b)$ . Por lo tanto, tenemos un mapa $\pi_1(B,b) \to p^{-1}(b)$ dado por $\gamma \mapsto \tilde{\gamma}(1)$ .

Por supuesto, para convertir esto en una prueba, hay que demostrar que este mapa está bien definido hasta la homotopía de bucles, que es suryente cuando $\pi_1(X,x)=0$ y que es inyectiva.

Siempre que pienso en esta correspondencia, me imagino personalmente el ejemplo del mapa de cobertura $(\mathbb{R},0) \to (S^1,1)$ dado por $x\mapsto \exp(2\pi ix)$ y luego imagina cómo un bucle que da la vuelta al círculo una vez se levanta para $\mathbb{R}$ , luego un bucle que da dos vueltas al círculo, y luego una vuelta en el otro sentido (correspondiente a $-1\in\pi_1(S^1,1)$ ), etc.