¿por qué esta integral diverge?

Question

$$\int_1^{\infty}\frac{x^6}{6x^6 − 1} dx $$

Supongo convergerían pero al parecer diverge. Sé que tiene que ver con integrales incorrectos. ¿Alguien puede explicarme? Gracias por su tiempo.

Answer 1

La razón por la que esta integral diverge, es el siguiente. Para un gran $x$ la fracción alcanza una constante límite. \begin{align} \lim_{x\rightarrow \infty} \frac{x^6}{6x^6-1} = \frac{1}{6} \end{align}

Eso significa que integramos una de las funciones que asintóticamente se comporta como $f(x)\equiv \frac{1}{6}$ que tiene un divergentes integral. Véase también Wolfram Alpha para una parcela de el integrando.

Sobre Brian M. Scott se refiere. Él está a la derecha. La más correcta argumentación sería: \begin{align} \frac{x^6}{6x^6-1} \geq \frac{x^6}{6x^6}=\frac{1}{6} \, \forall x \geq 1 \end{align} Así \begin{align} \int_1^{\infty}\frac{x^6}{6x^6-1} \, dx \geq \int_1^{\infty}\frac{1}{6} \, dx = \infty \end{align}

Answer 2

Ya que sabemos que $\dfrac{1}{x^6}>0$ % todo $x\geq1$, tenemos $\dfrac{1}{6-\dfrac{1}{x^6}}>\dfrac{1}{6}$ y sabemos que diverge de RHS. Por lo tanto, en comparación teorema, LHS diverge.

Answer 3

La integral se convierte en doblemente mal. El comportamiento cuando $x$ es grande es la maldad más obvia. Nos demuestran que también hay maldad fatal en $1$, mostrando que el $\displaystyle\int_1^2 \dfrac{x^6\,dx}{x^6-1}$ diverge.

Tenga en cuenta que $x^6-1=(x-1)(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$. Cuando $x\ge 1$, cada uno de lo términos $x^5,x^4,x^3,x^2,x, 1$ es $\le x^6$. Sigue eso si $\epsilon\gt 0$ y $$I_\epsilon=\int_{1+\epsilon}^2 \dfrac{x^6\,dx}{x^6-1}\gt \int_{1+\epsilon}^2 \frac{1}{6}\cdot \frac{dx}{x-1}.$ $

El cambio de la variable $u=x-1$ muestra que el $$I_\epsilon\gt \frac{1}{6}\int_\epsilon^1\frac{du}{u}.$ $ pero es un familiar hecho que $\displaystyle\int_\epsilon^1\dfrac{du}{u}$ saltar como $\epsilon\to 0^+$.

Answer 4

$\frac{x^6}{6x^6-1}$ converge hacia 1/6 $(n\rightarrow\infty)$. Por lo tanto, existe $x_0\in\mathbb{R}$ que $\frac{x^6}{6x^6-1}\gt\frac{1}{7}\; (x\gt x_0)$por ciento y, por tanto, el $\int_1^\infty\frac{x^6}{6x^6-1}\ge\int_{1}^{x_0} \frac{x^6}{6x^6-1}\text{d}x+\int_{x_0}^\infty \frac{1}{7}\text{d}x$. (Esto obviamente diverge)