Definición de probabilidad condicional con múltiples condiciones

Question

En concreto, digamos que tengo dos eventos, A y B, y unos parámetros de distribución $ \theta $ y me gustaría ver $P(A | B,\theta)$ .

Así, la definición más sencilla de probabilidad condicional es, dados unos sucesos A y B, entonces $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ . Así que si hay múltiples eventos para condicionar, como tengo arriba, podría decir que $P(A | B,\theta) \stackrel{?}{=} \frac{P((A | \theta)\cap(B | \theta))}{P(B|\theta)}$ ¿o es que lo estoy viendo de forma totalmente equivocada? A veces tiendo a mentalizarme cuando trato con la probabilidad, no sé muy bien por qué.

Answer 1

Puedes hacer un pequeño truco. Deja que $(B \cap \theta) = C$ . Ahora puede escribir

$$P(A|B, \theta) = P(A|C).$$ El problema se reduce al de una probabilidad condicional con una sola condición: $$P(A|C) = \frac{P(A \cap C)}{P(C)}$$

Ahora rellena $(B \cap \theta)$ para $C$ de nuevo y lo tienes:

$$\frac{P(A \cap C)}{P(C)} = \frac{P(A \cap (B \cap \theta))}{P(B \cap \theta)}$$

Y este es el resultado al que querías llegar. Escribamos esto exactamente en la forma que tenías cuando originalmente planteaste la pregunta:

$$P(A|B , \theta) = \frac{ P(A \cap B \cap \theta) }{ P(B \cap \theta) }$$

En cuanto a tu segunda pregunta, por qué la probabilidad te asusta: una de las conclusiones de la investigación psicológica es que los humanos no son muy buenos en el razonamiento probabilístico ;-). Me ha costado un poco encontrar una referencia que pueda indicarte. Pero el trabajo de Daniel Kahneman es sin duda muy importante en este sentido.

Answer 2

Creo que probablemente quieras esto:

$$\rm{P}(A|B,\theta) = \frac{\rm{P}(A\cap B|\theta)}{\rm{P}(B|\theta)}$$

A menudo me resulta confuso pensar en cómo manipular las probabilidades. En el caso de las condiciones múltiples, me resulta más fácil pensar en ello de esta manera:

• elimine temporalmente la(s) condición(es) que desea que permanezcan como condiciones en su resultado. En este caso, escriba $\rm{P}(A|B)$ , sacando $\theta$ .
• aplicar las reglas normales. En este caso $\rm{P}(A|B) = \rm{P}(A\cap B)/\rm{P}(B)$ .
• restablecer la(s) condición(es) que fue(n) eliminada(s). En este caso, restaurar $\theta$ para obtener el resultado $\rm{P}(A|B,\theta) = \rm{P}(A\cap B|\theta)/\rm{P}(B|\theta)$ .