Tenemos un conjunto de colores $C$ y un conjunto de números de $N$. Nos actuar en $C \times N$ por el grupo simétrico $\mathrm{Sym}(C)$ , $(c,n) \overset{\alpha}{\mapsto} (\alpha(c),n)$ todos los $\alpha \in \mathrm{Sym}(C)$$(c,n) \in C \times N$. Esto induce a una acción en el set de $k$-subconjuntos de a $C \times N$.
El número de clases de isomorfismo es dada por Burnside del Lexema. En este caso, si $\alpha,\beta \in \mathrm{Sym}(C)$ tiene la misma estructura del ciclo, a continuación, $\alpha$ $\beta$ estabilizar el mismo número de elementos en $C \times N$.
Por lo que el número o clases de isomorfismo es $$\frac{1}{|C|!} \sum_{\text{partitions $P$ of |C|}} \text{nr permutations with cycle structure } P \times |\mathrm{Stab}(\rho)|$$ where $\rho$ denotes a representative permutation with cycle structure $P$. Here $\mathrm{Puñalada}(\rho)$ is the set of $k$-subsets of $C \N$ which are fixed by acting on them with $\rho$.
El número de permutaciones con un determinado ciclo de la estructura es $$\frac{|C|!}{\prod_{i \geq 1} s(i)!\ i^{s(i)} }$$ where $s(i)$ is the number of $i$-ciclos en la estructura del ciclo.
El cálculo de $|\mathrm{Stab}(\rho)|$ es más complicado. Podría ser que cualquier fórmula para $|\mathrm{Stab}(\rho)|$ es esencialmente "compute $|\mathrm{Stab}(\rho)|$" en el disfraz. Si el color de la $b$ pertenece a una $t$-ciclo de trabajo en $\rho$, entonces podemos tener todas las de $(b,n),(\rho(b),n),\ldots,(\rho^{t-1}(b),n)$ $k$- subconjunto, o no tenemos nada de estos.
En el $C=\{1,2,3,4\}$, $N=\{1,2,\ldots,13\}$, y $k=2$ de los casos, tenemos un representante de permutaciones:
- $\mathrm{id}$: Esto soluciona todo, por lo $|\mathrm{Stab}(\mathrm{id})|=\binom{4 \times 13}{2}=1326$.
- $(12)$: Reparamos cualquier subconjunto que no tiene el color de la $1$ o $2$, de los cuales hay $\binom{2 \times 13}{2}=325$, y si el subconjunto ha $(c,n)$ donde $c \in \{1,2\}$ ha $(1,n)$$(2,n)$, dando $13$ más de posibilidades. Por lo $|\mathrm{Stab}(12)|=338$.
- $(12)(34)$: Similar al caso anterior, o tenemos $\{(1,n),(2,n)\}$ o $\{(3,n),(4,n)\}$, por lo que tenemos $|\mathrm{Stab}(12)(34)|=26$.
- $(123)$: No podemos usar los colores $1$, $2$ o $3$, de lo contrario $(1,n)$, $(2,n)$, y $(3,n)$ sería en nuestra $2$-subconjunto, dando una contradicción, por lo que el subconjunto es $\{(4,n),(4,n')\}$ dos $n,n' \in N$. Por lo $|\mathrm{Stab}(12)|=\binom{13}{2}=78$.
- $(1234)$: Similar al caso anterior, tenemos $|\mathrm{Stab}(1234)|=0$.
De ahí que el número de clases de isomorfismo es $$\frac{1}{4!}(1 \times 1326+6 \times 338+3 \times 26+8 \times 78+6 \times 0)=169.$$
(No creo que este número "viene de" $13 \times 13$).
