UPD: no estoy seguro de por qué no estoy recibiendo comentarios o votos, por lo que estoy ampliando un poco de abajo para que sea más fácil de entender mi pregunta y hacer que sea más autónomo.
Para la referencia, yo estoy usando la antigua edición de Lang, "Álgebra", el uno con homologías en su propio capítulo, pero estoy seguro de que es allí, en la edición de 2002, demasiado.
Mi pregunta es acerca de la construcción de los morfismos que es el tema de zig-zag lema. Deje $A$ ser un anillo, y considerar tres complejos de la cadena de $A$-módulos $(E', d)$, $(E, d)$ y $(E'', d)$ la formación de una corta secuencia exacta $$0 \to E' \ \xrightarrow{f} \ E \ \xrightarrow{g} \ E'' \to 0.$$ From now on, following Lang, I will be dropping indices and parentheses where possible to make notation lighter. I will also denote submodules of cycles with a letter $Z$ and boundaries with the letter $B$ as usual. The homologies will be considered as graded modules given by $H_i(E) = Z_i / B_i$ y así sucesivamente.
El problema es demostrar que la fórmula $z'' \mapsto f^{-1} d g^{-1} z''$ define un morfismos $$\delta: H(E'') \to H(E'), \qquad \delta_i: Z''_i / B''_i \to Z'_{i+1} / B'_{i+1}.$$
A continuación es mi conclusión de Lang, la mitad de la página croquis de la construcción explícita junto con la prueba de su veracidad. La pregunta está en la final.
Deje $z'' \in Z''_i$. Entonces el conjunto $f^{-1} d g^{-1} z'' \subset E'_{i+1}$ no está vacío. De hecho, los componentes de $g$ son surjective, así que hay un $z \in E_i$ tal que $gz = z''$. Desde $0 = dz'' = dgz = gdz$,$dz \in \ker g = \operatorname{im} f \subset E_{i+1}$, por lo tanto hay un $z' \in E'_{i+1}$ tal que $fz' = dz$, y por lo tanto $f^{-1} d g^{-1} z'' \subset E'_{i+1}$ no está vacío. Por otra parte, $f^{-1} d g^{-1} z'' \subset Z'_{i+1}$. De hecho, para todos los $z \in E_i$ tal que $gz = z''$ $z' \in E'_{i+1}$ tal que $fz' = dz$ tenemos $fdz' = dfz' = d^2z = 0$.
A continuación, vamos a demostrar que para todos los $z'_1, z'_2 \in f^{-1} d g^{-1} z'' $ tenemos $z'_1 - z'_2 \in B'_{i+1}$, o en otras palabras, que hay algo de $t \in E'_i$ tal que $dt = z'_1 - z'_2$. Recogemos $z_1, z_2$ igual que antes, y observar que $f(z'_1 - z'_2) = d(z_1 - z_2)$. Desde $g(z_1 - z_2) = z'' - z'' = 0$, entonces no es $t \in E'_i$ tal que $ft = z_1 - z_2$, y tenemos $fdt = dft = d(z_1 - z_2) = f(z'_1 - z'_2)$. Pero cada uno de los componentes de $f$ es inyectiva, por lo que hemos hecho ha $dt = z'_1 - z'_2$.
Así pues, tenemos una asignación de $\gamma_i: Z''_i \to Z'_{i+1} / B'_{i+1}$, $z'' \mapsto f^{-1} d g^{-1} z'' + B'_{i+1}$. Tenemos que demostrar que es un homomorphism. Vamos a demostrar que $\gamma_i(z''_1 + z''_2) = \gamma_i(z''_1) + \gamma_i(z''_2)$. De hecho, vamos a recoger $z_1, z_2 \in E_i$ tal que $gz_1 = z''_1$, $gz_2 = z''_2$. A continuación,$g(z_1 + z_2) = z''_1 + z''_2$, e $d(z_1 + z_2) = d(z_1) + d(z_2)$. Vamos a recoger $z'_1, z'_2 \in Z'_{i+1}$ tal que $fz'_1 = dz_1$, $fz'_2 = dz_2$. A continuación,$f(z'_1 + z'_2) = d(z_1 + z_2)$, por lo tanto si $z'_1 \in f^{-1} d g^{-1} z''_1$$z'_2 \in f^{-1} d g^{-1} z''_2$,$z'_1 + z'_2 \in f^{-1} d g^{-1} (z''_1 + z''_2)$. Pero las clases de $z'_1, z'_2, z'_1 + z'_2$ modulo $B'_{i+1}$ es independiente de la elección de $z_1, z_2$, y obviamente $z'_1 + z'_2 + B'_{i+1} = (z'_1 + B'_{i+1}) + (z'_2 + B'_{i+1})$, y por lo tanto, de hecho,$\gamma_i(z''_1 + z''_2) = \gamma_i(z''_1) + \gamma_i(z''_2)$. De la misma manera podemos demostrar que $\gamma_i(\alpha z') = \alpha \gamma_i(z')$ (en realidad no lo he hecho, pero parece ir por el mismo camino). Por lo tanto $\gamma_i$ es de hecho un homomorphism.
Ahora todo lo que queda por probar es que el $B''_i \subset \ker \gamma_i$. En efecto, considere la posibilidad de una $z'' \in B''_i$. Luego hay un $w'' \in E''_{i-1}$ tal que $dw'' = z''$ $w \in E_{i-1}$ tal que $gw = w''$. Por lo tanto $z'' = dgw = gdw$. De modo que hay un $z \in B_i$ tal que $z = dw$$gz = z''$. Obviamente, $dz = 0$, y debido a que cada componente de $f$ es una inyección, sólo hay un $z'_0 \in Z'_{i+1}$ tal que $fz'_0 = dz = 0$,$z'_0 = 0$. Pero, a continuación, para todos los $z' \in f^{-1} d g^{-1} z''$ tenemos $z' - z'_0 = z' \in B'_{i+1}$, y por lo tanto $f^{-1} d g^{-1} z'' \subset B'_{i+1}$, como iba a ser probado.
Ahora por la homomorphism teorema $\gamma_i$ exclusiva de los factores a través de algunos $\delta_i: Z''_i / B''_i \to Z'_{i+1} / B'_{i+1}$, y esto es lo que se necesita para construir.
Mis dos preguntas son:
- Es esto una prueba correcta y completa?
- Hubo un acceso directo que me perdí?
UPD: entiendo que este no es un encantador de la pregunta que intento responder. Así que Dios da, Dios quita: voy a premio de la recompensa para el más grave defecto encontrado, o a Dylan si no se encuentra nada.
