(nota: en lo que sigue por "consistente" quiero decir "consistente en relación con los grandes cardenales")
Mi pregunta se refiere al enunciado exacto del resultado que Gitik ha demostrado en su artículo "All Uncountable Cardinals Can Be Singular". En el resumen, afirma haber procenado la consistencia de lo siguiente:
Todo conjunto infinito es una unión contable de conjuntos de menor cardinalidad.
Sin embargo, el teorema I habla de la consistencia de lo siguiente:
Para todos $\alpha$ cofinalidad de $\aleph_\alpha$ es $\aleph_0$ .
Como no tenemos elección en nuestras manos, estas dos formulaciones no son necesariamente equivalentes, debido a los cardinales no ordenables. De hecho, ni siquiera podemos tener elección contable aquí, por lo que podríamos tener que tratar con infinitas cardinalidades Dedekind-finitas. Esto me llevó a plantear esta pregunta:
Tiene la consistencia de
Todo conjunto infinito es una unión contable de conjuntos de menor cardinalidad.
¿se ha demostrado realmente? ¿Qué tal si
Todo conjunto infinito es una unión contable de no vacío conjuntos de menor cardinalidad.
Creo que esto último es equivalente a lo primero + "todos los conjuntos finitos Dedekind son finitos".
Gracias de antemano.
Edición: como señala Arthur Fisher, la parte (a) del teorema II del mismo documento responde exactamente a la primera parte de mi pregunta. La segunda parte, sin embargo, sigue en pie. Sospecho que el modelo de Gitik no tiene ningún conjunto infinito Dedekind-finito, pero el documento está mucho más allá de mi comprensión.
