Al estudiar el análisis complejo, nos damos cuenta de que las funciones trigonométricas no son más que exponenciales, y podemos definir las funciones trigonométricas reales en términos de exponenciales complejas. Me preguntaba si podemos aplicar esta lógica para definir funciones trigonométricas inversas (arcsin, por ejemplo) en términos de logaritmos complejos, que son las funciones inversas de exponenciales complejos. ¿Se puede? ¿Es apropiado?
Respuesta
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Por supuesto. Véase aquí donde las formas logarítmicas de $\arcsin$ etc. Puede haber problemas para definir el dominio, ya que la función logarítmica compleja tiene bastantes sutilezas en su definición. En una línea relacionada pero ligeramente más sencilla, las inversas de las funciones trigonométricas hiperbólicas también pueden escribirse en términos de $\log$ pero sin $i$ apareciendo. Si estás familiarizado con la trigonometría hiperbólica, puede ser un ejercicio útil intentar derivar estas inversas por tu cuenta, y luego ver cómo podrías aplicar tus argumentos a $\arcsin$ .
