¿El mapa exponencial es el componente de la identidad de lo grupos orthogonal indefinido especiales $$ \mathrm{exp} \colon \mathfrak{so}(p,q) \to SO^+(p,q)$ $ sobreyectiva?
Respuesta
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Fredrik
Puntos
26
Para el especial ortogonal grupo $SO(d)$ y el restringido grupo de Lorentz $SO^+(d,1)\cong SO^+(1,d)$, la exponencial mapas $$\exp: so(d)~~\longrightarrow~~ SO(d), \qquad\exp: so(d,1)~~\longrightarrow~~ SO^+(d,1)\tag{1} $$ son surjective. Ver también esta relacionada con Phys.SE post y los enlaces en el mismo.
Más simple contraejemplo. El exponencial mapa $$\exp: sl(2,\mathbb{R})\oplus sl(2,\mathbb{R})~~\longrightarrow~~ SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})\tag{2} $$ para la división del grupo $$SO^+(2,2)~\cong~[SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})]/\mathbb{Z}_2 \tag{3}$$ es que no surjective. Aquí el $\mathbb{Z}_2$-acción identifica $$ (g_L,g_R)~~\sim~~(-g_L,-g_R), \qquad g_L,g_R~\in~SL(2,\mathbb{R})~:=~\{g\in {\rm Mat}_{2\times 2}(\mathbb{R}) \mid \det g~=~1\}.\qquad\tag{4}$$ Uno puede mostrar que un par de $$(g_L,g_R)~\in~SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})\tag{5}$$ with $${\rm tr}(g_L)<-2\quad\text{and}\quad{\rm tr}(g_R)>2\tag{6}$$ (or vice-versa $L\leftrightarrow R$) is not in the image of the exponential map, even after $\Bbb{Z}_2$-modding.
Más generalmente, se puede demostrar para el indefinido ortogonal grupos $SO^+(p,q)$ donde $p,q\geq 2$, que la exponencial mapa $$\exp: so(p,q)~~\longrightarrow~~ SO^+(p,q)\tag{7} $$ es no surjective, cf. por ejemplo, Ref. 1.
Referencias:
- D. Z. Dokovic & K. H. Hofmann, Revista de Teoría de la Mentira 7 (1997) 171. El archivo pdf que está disponible aquí.
