¿Demostrar eso si $\gcd(a,b)=\gcd(b,c)=\gcd(a,c)=1$ y $\gcd(bc,ac,ab)=1$?

Question

Así que escribo la identidad de Bézout 3:

$au+bv=1$

$bv+cw=1$

$au+cw=1$

Podríamos haber tomado diferentes $u,v,w$...

Multiplicando obtengo:

$1=ab(v^2ub+u^2va+uvwc)+ac(w^2uc+u^2wa+uvwb)+bc(v^2wb+w^2vc)$

Tomando: $v^2ub+u^2va+uvwc=x \in \mathbb{Z}, \ w^2uc+u^2wa+uvwb=y\in\mathbb{Z}, \ v^2wb+w^2vc=z\in\mathbb{Z}$ y $\gcd(bc,ac,ab)=1$.

Ahora quiero generalizar a un producto de términos de $n$ sin el término de #% de #% %. ¿Hay cualquier métodos más rápidos de desarrollo?

PS : esta declaración es una clave para iniciar la prueba de la CRT.

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Supongamos que un primer $p$ divide $\gcd(bc,ac,ab)$; a continuación,$p\mid (bc)$, por lo que se divide $b$ o se divide $c$, pero no tanto por $\gcd(b,c)=1$.

Supongamos $p\mid b$$p\nmid c$. Desde $p\mid ac$, llegamos a la conclusión de $p\mid a$, contradiciendo $\gcd(a,b)=1$.

Del mismo modo, asumiendo $p\nmid b$ $p\mid c$ conduce a una contradicción, teniendo en cuenta que $p\mid ab$.

Podemos generalizar a más de tres números? Supongamos $a_1,a_2,\dots,a_n$ son parejas coprime. Conjunto $$ c_i=\frac{a_1a_2\dots, a_n}{a_i} $$ A continuación,$\gcd(c_1,c_2,\dots,c_n)=1$.

De hecho, si $p$ es un divisor primo de $\gcd(c_1,c_2,\dots,c_n)=1$. A continuación,$p\mid c_n$, lo $p$ divide exactamente uno de $a_1,\dots,a_{n-1}$. Sin pérdida de generalidad, podemos decir que el $p\mid a_1$; ya que también se $p\mid c_1$, obtenemos una contradicción, porque por supuesto de $\gcd(a_1,a_j)$$j>1$.

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En realidad, esta es una celosía distributivo de la propiedad. Vamos a considerar \begin{align} (b\lor c)\land (a\lor c)\land(a\lor b) &=(b\lor c)\land\bigl(a\lor(b\land c)\bigr)\\ &=\bigl((b\lor c)\land a)\lor(b\land c)\\ &=(a\land b)\lor(a\land c)\lor(b\land c) \end{align} y, si $a\land b=a\land c=b\land c=\mathbf{0}$, entonces también $$ (b\lor c)\la tierra (a\lor c)\la tierra(a\lor b)=\mathbf{0} $$ (donde $\mathbf{0}$ denota el mínimo elemento de la rejilla). Aquí la distribución de celosía es que los números naturales en virtud de la divisibilidad, donde el mínimo es de $1$, $\land$ es el mcd y $\lor$ es la lcm.

Answer 2

$ gcd (a,b). = gcd (b,c) = gcd (c,a) =1$ medios a, b, c no tienen ninguna factores primeros comunes entre ellos.

Así $gcd (ab,bc) = b$ y desde a, c no tiene cualquier factor de b, su $gcd(b,ca)=1$

Answer 3

Esto es sencillo si utiliza las propiedades de $gcd()$. He escrito los pasos detallados. $$1\le gcd(bc, ac, ab) = gcd(gcd(bc, ac), ab) =gcd(c*gcd(b, a), ab) = gcd(c, ab) \le gcd(c, a) * gcd(c, b)=1*1=1,$De % $ % que $gcd(bc, ac, ab)=1$.

Para extender esto a $n\ge 3$ % variables $x_1$, $x_n$, la idea es la misma además de inducción. Que $s=x_1...x_{n+1}$. $$1\le gcd(\frac{s}{x_1}, ..., \frac{s}{x_{n+1}}) = gcd(x_{n+1}gcd(...), \frac{s}{x_{n+1}}) = gcd(x_{n+1}, x_1...x_n) \le gcd(x_{n+1}, x_1)...gcd(x_{n+1}, x_n)= 1*...*1=1$$

Answer 4

$$au+bv=1 \Rightarrow acu+bcu=c \Rightarrow gcd(ac,bc) |c \Rightarrow gcd(ac,bc, ab) |c$$

Misma manera $gcd(ac,bc, ab) |b$.

Entonces un divisor común de $gcd(ac,bc, ab)$$b$ y $c$. $gcd(b,c)=1$ Obtienes %#% $ #%