$$(1-x^2)y''-2xy'+p(p+1)y=0, p \in \mathbb {R} \text { constant } \\ -1 < x<1$$
En el intervalo $(-1,1)$ la anterior ecuación diferencial puede escribirse de forma equivalente
$$y''+p(x)y'+q(x)y=0, -1<x<1 \text { where } \\p (x)= \frac {-2x}{1-x^2} \\ q(x)= \frac {p(p+1)}{1-x^2}$$
$p,q$ puede ser escrito como una serie de poder $ \sum_ {n=0}^{ \infty } p_n x^n, \sum_ {n=0}^{ \infty } q_n x^n$ respectivamente con el centro $0$ y $ \sum_ {n=0}^{ \infty } p_n x^n=p(x)$ y $ \sum_ {n=0}^{ \infty } q_nx^n=q(x), \ \forall -1<x<1$
$$p(x)= \sum_ {n=0}^{ \infty } (-2) x^{2n+1}, -1<x<1$$
$$q(x)= \sum_ {n=0}^{ \infty } p(p+1) x^{2n}, \forall -1<x<1$$
Desde $p,q$ puede ser escrito como una serie de poder con el centro $0$ y el radio de convergencia $1$ es lógico buscar una solución de la ecuación diferencial de la forma
$$y(x)= \sum_ {n=0}^{ \infty } a_n x^n \text { with radius of convergence } R>0$$
$$-2xy'(x)= \sum_ {n=1}^{ \infty } -2n a_n x^n$$
$$y''(x)= \sum_ {n=0}^{ \infty } (n+2)(n+1) a_{n+2} x^n \\ -x^2y''(x)= \sum_ {n=2}^{ \infty } -n(n-1)a_nx^n$$
Lo hemos hecho:
$$ \sum_ {n=0}^{ \infty } \left [ (n+2)(n+1) a_{n+2}-n(n-1)a_n-2na_n+p(p+1)a_n \right ]x^n=0, \forall x \in (-R,R)$$
Tiene que aguantar: $(n+2)(n+1)a_{n+2}-n(n-1)a_n-2na_n+p(p+1)a_n=0, \forall n=0,1,2, \dots $
Así: $$a_{n+2}=- \frac {(p-n)(p+n+1)}{(n+1)(n+2)}a_n, \forall n=0,1,2, \dots $$
Así que la solución está escrita de la siguiente manera:
$$y(x)=a_0 \left [ 1- \frac {p(p+1)}{2!}x^2+ \frac {p(p-2)(p+1)(p+3)}{4!}x^4- \frac {p(p-2)(p-4)(p+1)(p+3)(p+5)}{6!}x^6+ \dots \right ] +a_1 \left [ x- \frac {(p-1)(p+2)}{3!}x^3+ \frac {(p-1)(p-3)(p+2)(p+4)}{5!}x^5- \frac {(p-1)(p-3)(p-5)(p+2)(p+4)(p+6)}{7!}x^7+ \dots\right ]$$
Mostraremos que si $p \in \mathbb {R} \setminus { \mathbb {Z}}$ entonces la serie de energía a la derecha de $a_0,a_1$ tienen un radio de convergencia $1$ y por lo tanto definen funciones $y_1(x), y_2(x)$ que son infinitamente diferenciables en $(-1,1)$ .
Tenemos para $-1<x<1, x \neq 0$ :
$$ \left | \frac {a_{2(n+1)} x^{2(n+1)}}{a_{2n} x^{2n}} \right |= \left |- \frac {(p-2n)(p+2n+1)}{(2n+1)(2n+2)} \right | |x|^2 \to |x|^2<1$$
Así que la serie $ \sum_ {n=0}^{ \infty } \overline {a_{2n}} x^{2n}$ converge para $-1<x<1$
De la misma manera, mostramos que la serie $ \sum_ {n=0}^{ \infty } \overline {a_{2n+1}}x^{2n+1}$ converge para $-1<x<1$ .
De acuerdo con lo anterior, si $p \in \mathbb {R} \setminus { \mathbb {Z}}$ la serie de energía a la derecha de $a_0, a_1$ tienen un radio de convergencia $1$ y por lo tanto definen funciones $y_1(x), y_2(x)$ que son infinitamente muchas veces diferenciables en $(-1,1)$ .
Entonces mostramos que $y_1(x)$ converge y de la misma manera podríamos mostrar que $y_2(x)$ converge.
¿Pero hemos demostrado así que el radio de convergencia es $1$ ? ¿Y cómo deducimos que las funciones son infinitamente diferenciables?
También lo que se quiere decir con $ \overline {a_{2n}}$ ?
Además, ¿qué pasa si $p \in \mathbb {Z}$ ?
EDITAR : ¿No podríamos también escribir la solución $y$ en la siguiente forma?
$$y(x)= \sum_ {k=0}^{ \infty } a_{2k} x^{2k}+ \sum_ {k=0}^{ \infty } a_{2k+1} x^{2k+1}$$
donde..:
$$a_{2k}= \frac { \prod_ {j=0}^{2k-1} (j+(-1)^{j+1} p)}{(2k)!}a_0$$
y
$$a_{2k+1}= \frac { \prod_ {j=1}^{2k} (j+(-1)^j p)}{(2k+1)!}a_1$$
¿O me equivoco?
Si es así, aplicando la prueba de proporción que obtendríamos:
Para $n=2k$ :
$$ \left | \frac { \frac { \prod_ {j=0}^{2k+1} (j+(-1)^{j+1} p) a_0 x^{2k+2}}{(2k+2)!}}{ \frac { \prod_ {j=0}^{2k-1} (j+(-1)^{j+1} p) a_0 x^{2k}}{(2k)!}} \right | = \left | \frac {(2k-p)(2k+1+p) x^2}{(2k+1)(2k+2)} \right | \to |x^2|<1$$
Así que la serie $ \sum_ {k=0}^{ \infty } a_{2k} x^{2k}$ converge para todos $x$ de tal manera que $-1<x<1$ .
¿Es correcto hasta ahora?
Si es así, ¿cómo deducimos que si $p \in \mathbb {R} \setminus { \mathbb {Z}}$ entonces la serie de energía a la derecha de $a_0,a_1$ tienen un radio de convergencia $1$ y por lo tanto definen funciones $y_1(x), y_2(x)$ que son infinitamente diferenciables en $(-1,1)$ ?
EDITO 2 : Si $p$ es un entero positivo, entonces una de las series termina y se convierte en polinomio.
Por ejemplo, si $p=7$ Entonces $a_7, a_9, a_{11}, \dots , a_{2n+1}=0$ y así $ \sum_ {k=0}^{ \infty } a_{2k+1} x^{2k+1}= a_1 x+ a_3 x^3+ a_5 x^5$ ¿verdad?
Entonces, ¿esto significa que en tal caso no se sostiene que la serie de energía a la derecha de $a_0,a_1$ tienen un radio de convergencia $1$ y por lo tanto definen funciones $y_1(x), y_2(x)$ que son infinitamente diferenciables en $(-1,1)$ ?
