Necesito encontrar las raíces de este cuártico: $y=x^4+6x^3+11x^2+6x-24024$ para poder resolver mi problema.
Me pregunto si hay una forma fácil de encontrar sus raíces (como sustituir $x$ con algo). Conozco el Teorema de la Raíz Racional, pero me apetece enumerar los factores de $24024$ llevaría demasiado tiempo.
Usted puede notar que $$ x^4+6x^3+11x^2+6x-24024 = (x^2+3x+1)^2-24025 = (x^2+3x+1)^2-155^2 $$ buscando el cuadrado de un polinomio de segundo grado que coincida con el patrón de coeficientes $1,6,11$ . Va tan suave que la identidad $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ también proporciona una factorización: $$\boxed{ x^4+6x^3+11x^2+6x-24024 = \color{blue}{(x-11)(x+14)}\color{green}{(x^2+3x+156)}.}$$
El hecho de que $24024$ está excepcionalmente cerca de un cuadrado entero y $x^4+6x^3+11x^2+6x+1$ es un polinomio palindrómico (por lo tanto $x^2$ veces un polinomio cuadrático en la variable $x+\frac{1}{x}$ ) y un cuadrado conduce a una solución alternativa equivalente.
@Crescendo: escribirlo como diferencia de dos cuadrados es un criterio sencillo para proporcionar factorizaciones (que es el núcleo de la criba cuadrática, por ejemplo). Con ese conocimiento, simplemente intenté hacer lo que escribí: encontrar un polinomio de segundo grado cuyo cuadrado "empiece" por $x^4+6x^3+11x^2$ .
Espera, todavía estoy algo confuso. $115^2$ no es igual a $24024$ ... y ampliando $(x^2+3x+1)^2-115^2$ me da $x^4+6x^3+11x^2+6x-13224$
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