Cierre de las funciones elementales en integración

Question

Las funciones elementales de valor real no son cerradas por integración. (La función elemental tiene una definición precisa -- véase el algoritmo de Risch en Wikipedia). Esto significa que hay funciones elementales cuyas integrales no son elementales. Así que podemos construir una clase más grande de funciones uniendo todas las integrales de las funciones elementales. Este proceso se puede repetir indefinidamente. Si entiendo bien las cosas, el conjunto de funciones que es el cierre contable de este proceso es cerrado por integración. ¿Hay alguna finito iteración del proceso logre el cierre bajo integración?

Yo creo que no. ¿Alguien ha pensado en esto?

Answer 1

No estoy del todo seguro de que se pueda cerrar; aparentemente, integrales cada vez más complicadas de composiciones de funciones elementales requieren nuevas generalizaciones de la "función hipergeométrica" a varias variables; por ejemplo, la integral de $\sin(\sin(x))$ requiere un Kampé de Fériet función hipergeométrica para su forma cerrada, y las integrales elípticas (integrales que contienen raíces cuadradas de polinomios cúbicos o cuárticos) requieren la Lauricella ou Appell hipergeometría. En cuanto a si existe "el único hipergeométrico que los gobierna a todos", creo que es una cuestión abierta.

EDITAR

Para aclarar la pequeña discusión que tuvimos Qiaochu y yo en los comentarios para otros lectores: la razón por la que debería interesarte la hipergeometría es que prácticamente todas las funciones elementales, y sus combinaciones (suma, productos, composiciones, etc.) son expresables como hipergeometría. Como he mostrado en el ejemplo que puse en los comentarios, para integrar una función hipergeométrica con p+q+1 argumentos se puede necesitar una función hipergeométrica con p+q+3 argumentos. Si te imaginas que este procedimiento se aplica multiplicando una función hipergeométrica con cada término de una serie de potencias, obtienes funciones hipergeométricas aún más complicadas (en ese enlace, tienes la generalización multivariante de la función hipergeométrica conocida como función G de Meijer. Integrando una función de Meijer puedes obtener una Función Meijer con más argumentos ).

Así que la pregunta que uno debería hacerse, creo, es si existe "el único hipergeométrico que los gobierna a todos"; o para usar (mal) otro coloquialismo: "la madre de todos los hipergeométricos".

EDIT×2

Supongo que todo lo que he intentado decir, después de toda esta elaboración: a menos que uno esté satisfecho con una respuesta del tipo "son tortugas hasta el final", entonces creo que no hay manera de resolver satisfactoriamente esta cuestión.

Answer 2

En un campo diferencial de Galois, la integración es la operación antiderivada y no la suma infinita, pero seguiré llamándola integración.

Si empezamos con funciones elementales simples, digamos funciones racionales con coeficientes enteros, entonces habrá muchas funciones que no tengan integrales. Si el conjunto original de funciones es finito, sólo habrá que añadir un número finito de funciones. El proceso puede repetirse en el siguiente nivel. La única pega es que en cada etapa hay que tratar con constantes (piense en las raíces de los denominadores). La mayoría de las funciones obligan a sumar varias integrales. El número de funciones que se suman crece geométricamente con los niveles, por lo que es de esperar que no haya una forma fácil de definir un cierre contable.

¿Hay conjuntos iniciales para los que el proceso se detiene? Sí, los polinomios, por ejemplo. ¿Hay conjuntos iniciales para los que el proceso es eterno? Sí.

Answer 3

Alternar entre la aplicación de la integral a cada elemento y el cierre del conjunto con respecto a las operaciones elementales. Llamemos "rango" al menor número de tales iteraciones compuestas necesarias para construir una función. Así, exp tiene rango 0, pero erf, erf(exp) y erf + exp tienen rango 1.

La integral de una función con rango R puede tener rango R o R+1. La derivada de una función con rango R puede tener rango R o R-1, y el rango de la derivada de una función con rango 0 es siempre 0. Si la derivada de una función con rango R tiene rango R-1, llamaremos a esa función "primitiva" para distinguir entre las dos fases de la iteración. Una función no primitiva puede, por definición, escribirse en términos de funciones primitivas del mismo rango (y posiblemente de otras funciones de menor rango). Por ejemplo, erf es primitiva, pero erf(erf) no lo es, aunque sean del mismo rango 1.

Supongamos que R es el mayor rango. Entonces la integral f de cualquier función de rango R f' es una función de rango R no primitiva. Es posible expresar f en términos de funciones que tienen un rango menor que R o que son primitivas y tienen un rango igual a R, y se requiere al menos una función de este último tipo. La suma de dos funciones primitivas cualesquiera sigue siendo primitiva, por lo que en el caso general tenemos una función de este tipo que aparece en una expresión no aditiva. Por la misma razón podemos encontrar un caso en el que no sea la raíz del árbol de expresión. Ahora podemos escribir f como una composición de un producto:

f = g(h * j)

donde j es una función primitiva de rango R y g y h son otras funciones. Las derivadas de f son:

f' = (h * j)' * g'(h * j)

f'' = (h * j)'' * g'(h * j) + (h * j)' * g''(h * j)

f'' contiene los mismos términos que definen f' y, por tanto, también es de rango R, por lo que f' no es primitiva. Pero debe haber al menos una función primitiva como f', por lo que se contradice la hipótesis de un rango mayor.