Probar la desigualdad de AM:GM

Question

Estoy haciendo más allá de exámenes preparación para la fase final y me encontré con esta pregunta tres veces:

Demostrar que:

Diferentes documentos de $$\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}.a_{2}...a_{n}}$ $ requieren diferentes enfoques para probar pero la mayoría de ellos utilizan la inducción. ¿Puede alguien por favor explicarme cómo probar usando inducción? Puede hacer los primeros pasos, pero se atascan en demostrando:

$$\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}+a_{k+1}}{k+1}\geq \left ( \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}}{k} \right )^{\frac{1}{k+1}}\left ( a_{k+1} \right )^{\frac{1}{k+1}}$$

Answer 1

Aquí es una simple prueba. No es una inducción, pero puede ser convertido a un método, que puede servir.

Deje que la media geométrica (lado derecho de la expresión) es igual a $G$ y la media aritmética igual a $A$. Si el $a_i$ no son todos iguales, entonces hay un mayor $a_1$ y un menor $a_n$ (decir - organizar en orden de magnitud) de modo que $$a_1\gt G \gt a_n$$ and therefore $(G-a_1)(G-a_n)\lt 0$

Ahora, considere el efecto de la sustitución de $a_1$ $b_1=G$ $a_n$ $b_n=\frac {a_1a_n}G$ $b_i=a_i$ lo contrario, por lo que el $b_1 b_n=a_1a_n$ y la media geométrica es igual, pero tenemos $$a_1+a_n\gt b_1+b_n=\frac {G^2+a_1a_n}{G}$$ because (multiplying by $G\gt 0$ and gathering terms) $$0 \gt G^2+a_1a_n-G a_1-G a_n=(G-a_1)(G-a_n)$$

Si dejamos $B$ será la media aritmética de las $b_i$ tenemos $A\gt B$. Después de que en la mayoría de las $n-1$ pasos de la misma clase, todos los originales de $a_i$ le han sido sustituidos por $G$ y obtenemos algo como:$$A\gt B\gt B_2\gt\dots\gt B_{n-1}=G$$

Si usted necesita una inducción, usted puede hacer una inducción basada en este método. Inducción sobre el número de la $a_i \neq G$ destacar que el número no puede ser$1$, por lo que un poco de cuidado se necesita introducción. Si hemos demostrado para $r$ de la $a_i\neq G$ luego nos tomamos un caso con $r+1$ y reducir para el caso de $r$ usando el método anterior. Esto también fácilmente se da el caso de la igualdad.

Esto no quiere dar una inducción en $n$, por supuesto - así que si sería una solución válida dependerá de la redacción de la pregunta.

Answer 2

Quiero discutir tu duda solamente. Prueba completa que tiene en sus notas. Como has escrito en tu pregunta a discutir el paso particular te hizo ni entender.

$$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_k + a_{k+1}}{k+1} = \frac{k \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_k}{k} + a_{k+1}}{k+1} \geq (\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_k}{k})^{\frac{k}{k+1}}(a_{k+1})^{\frac{1}{k+1}}$$

Aquí hemos tomado $k$-tiempos $\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_k}{k}$y $1$ tiempo $a_{k+1}$.

Ahora aplicar el paso anterior de su inducción que se obtendrá

$$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_k}{k} \geq (a_1 a_2 \dots a_k)^{\frac{1}{k}}$$

Poniendo este valor en la primera relación se obtendrá

$$\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_{k+1}}{k+1} \geq (a_1 a_2 \dots a_{k+1})^{\frac{1}{k+1}}$$