$f$ es continua y de variación acotada en $[0,1]$ , $f$ es absolutamente continua en cualquier $[c,1]$ con $c \in (0,1]$ . Entonces $f$ es absolutamente continua en $[0,1]$ .
¿Cómo mostrar esto?
Gracias.
Respuesta
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Aquí tienes algunos consejos para empezar.
Dado $\epsilon>0$ , elija $c\in(0,1]$ para que la variación total de $f$ en $[0,c]$ es menor que $\epsilon/2$ . A continuación, elija $\delta>0$ para que $\sum_{k=1}^n|f(y_k)-f(x_k)|<\epsilon/2$ siempre que $\{[x_k,y_k]:k=1,\dots,n\}$ es una familia finita de intervalos disjuntos en $[c,1]$ tal que $\sum_{k=1}^n(y_k-x_k)<\delta$ .
Ahora demuestre que si $\{[x_k,y_k]:k=1,\dots,n\}$ es una familia finita de intervalos disjuntos en $[0,1]$ tal que $\sum_{k=1}^n(y_k-x_k)<\delta$ entonces $\sum_{k=1}^n|f(y_k)-f(x_k)|<\epsilon$ . Tenga en cuenta que $c$ puede caer en el interior de uno de los intervalos $[x_k,y_k]$ .
