Desambiguación: Vamos a $\langle X,\tau\rangle$ ser un espacio topológico.
- He de decir que en dos subconjuntos $A,B$ $X$ son separados si son distintos unos de otros cierres (sus cierres no tiene por qué ser distinto).
- Yo digo que $\langle X,\tau\rangle$ es normal si para cualquiera de los dos cerrados disjuntos subconjuntos $E,F$ $X$ existen abiertos disjuntos conjuntos de $U,V$ tal que $E\subseteq U$$F\subseteq V$.
- He de decir que $\langle X,\tau\rangle$ es completamente normal si para cualquiera de los dos cerrados disjuntos subconjuntos $E,F$ $X$ existe una función continua $f:X\to\Bbb R$ tal que $E\subseteq f^{-1}\bigl[\{0\}\bigr]$$F\subseteq f^{-1}\bigl[\{1\}\bigr]$.
- He de decir que $\langle X,\tau\rangle$ es hereditariamente normal si para cualquier par de subconjuntos separados $A,B$ $X$ existen abiertos disjuntos conjuntos de $U,V$ tal que $A\subseteq U$$B\subseteq V$.
- He de decir que $\langle X,\tau\rangle$ es perfectamente normal si para cualquiera de los dos cerrados disjuntos subconjuntos $E,F$ $X$ existe una función continua $f:X\to\Bbb R$ tal que $E=f^{-1}\bigl[\{0\}\bigr]$$F=f^{-1}\bigl[\{1\}\bigr]$.
Como se ha mencionado en mi anterior post, completamente normal espacios siempre son normales, y a la inversa sostiene con suficiente Elección, pero puede fallar para mantener sin ella. Desde distintos conjuntos cerrados son separados, entonces hereditariamente normal espacios son normales, y es evidente por la definición que perfectamente normal que los espacios son completamente normales.
Me ha dado a entender (es decir: Wikipedia dice) que perfectamente normal que los espacios son hereditariamente normal, pero creo que podemos necesitar alguna Opción de probar esto. ¿Alguien sabe si perfectamente normal que los espacios son necesariamente hereditariamente normal en $\mathsf{ZF}$? Además, hay un hereditariamente espacio normal ser completamente normal en $\mathsf{ZF}$?
