¿Cuándo un grupo abeliano tiene una serie de composición?

Question

Hay un ejercicio en el libro "An Introduction to the group theory by J.J. Rose" que también se puede encontrar como proposición en "Abstract algebra by T. Hungerford":

Cada finito tiene una serie de composición $^*$ .

Ahora estoy haciendo el ejercicio $5.9$ del primer libro mencionado:

1. Un grupo abeliano tiene una serie de composición si es finito.

2. Pon un ejemplo de un grupo infinito que tenga una serie de composición.

Sobre 1. : Desde $(*)$ ; se puede llevar a cabo un lado. Por otro lado; ¿qué pasaría si asumiéramos que el grupo es infinito? De hecho, si un grupo abeliano es infinito; no puede tener una serie de composición con longitud finita? ¿Es esta nuestra contradicción? Veo esto considerando $\mathbb Z_{p^\infty}$ pero no puede ver el camino correcto. Gracias.

Answer 1

Un grupo abeliano simple no trivial es cíclico de orden primo. Una serie de composición debe tener una longitud finita. Esto debería ser suficiente.

Answer 2

Creo que puedes proceder con tu problema reduciendo al caso de (1) que tu grupo abeliano debe ser finitamente generado. Pues supongamos que tu grupo abeliano $G$ tiene una serie de composición. Entonces se seguiría (creo) que todas las cadenas en $G$ tienen una longitud limitada, por lo que $G$ satisface la condición de la cadena ascendente y la condición de la cadena descendente (como $\Bbb{Z}$ - ) y, por lo tanto, está generado finitamente. Ahora, por el teorema fundamental de los grupos abelianos finitamente generados, obtenemos que

$$G \cong \Bbb{Z}^n \oplus \Bbb{Z}_{p_1} \oplus \ldots \oplus \Bbb{Z}_{p_n}$$

para algunos números primos $p_1,\ldots,p_n$ . Ahora bien, si $n > 0$ Tiene una copia de $\Bbb{Z}$ sentado dentro de $G$ que da lugar a una cadena descendente de subgrupos dentro de $G$ que no termina, contradiciendo $G$ siendo Artiniano. De ello se desprende $n =0$ y en consecuencia $G$ es un grupo abeliano finito. $\hspace{6in} \square$