Cómo probar el teorema de la función implícita falla

Question

Definir $$F(x,y,u,v)= 3x^2-y^2+u^2+4uv+v^2$$ $$G(x,y,u,v)=x^2-y^2+2uv$$

Muestran que no hay ningún conjunto abierto en el $(u,v)$ plano tal que $(F,G)=(0,0)$ define $x$ $y$ en términos de$u$$v$.

Si (F,G) es igual a decir (9,-3) puede aplicar el teorema de la función Implícita y demostrar que en una vecindad de (1,1) $x$ $y$ se definen en términos de$u$$v$. Pero esta pregunta parece dar a entender que parte de la hipótesis deben ser necesarios para las funciones de existir?

Creo que desde los parciales existen y son continuas el determinante de $$\pmatrix{ \frac{\partial F}{\partial x}&\frac{\partial F}{\partial y}\cr \frac{\partial G}{\partial x}&\frac{\partial G}{\partial y} }$$ debe ser distinto de cero en orden para x e y para ser implícitamente definida en un conjunto abierto cerca de cualquier punto (u,v), pero dado que las condiciones anteriores se requiere que x=y=0 el determinante de la anterior matriz es =0.

No he encontrado esto en un análisis de texto, pero este papel http://www.u.arizona.edu/~nlazzati/Cursos/Math519/Notas/Nota%203.pdf afirma que es necesario.

Answer 1

Pista número 2: Olvídate del teorema de la función implícita y hacerlo de forma peatonal. El sistema $F=0$ $G=0$ es lineal en $x^2$ y $y^2$, así que ir y resolver para las variables auxiliares.

Answer 2

A decir $(F,G) = (0,0)$ es decir que $y^2 - 3x^2 = u^2 + 4uv + v^2$$y^2 - x^2 = 2uv$. Algunos de álgebra, esto es equivalente a $x^2 = -{1 \over 2}(u + v)^2$$y^2 = -{1 \over 2}(u - v)^2$. Por lo que se requiere que el no negativo de las cantidades de la izquierda sea igual al valor no positivo de las cantidades a la derecha. Por lo tanto el conjunto solución es sólo $(x,y,u,v) = (0,0,0,0)$, donde todo es cero.

Supongamos que en la otra mano tenía ecuaciones $x^2 = {1 \over 2}(u + v)^2$$y^2 = {1 \over 2}(u - v)^2$. Entonces usted podría resolverlos, pero no hay ninguna singularidad ahora; usted podría tomar $(x,y) = (\pm {1 \over \sqrt{2}}(u + v),\pm {1 \over \sqrt{2}}(u - v))$ la obtención de cuatro distintos suave de soluciones que vienen juntos en $(0,0,0,0)$.

Así que estos son buenos ejemplos que muestran que si el determinante es cero en $(0,0)$ usted no tiene que tener la existencia de soluciones, ni singularidad cuando usted no tiene existencia.