Lema de Hartshorne (I 3.6)

Question

Deje $X$ ser una variedad, $Y \subset \mathbb{A}^n$ una variedad afín y $\psi:X \rightarrow Y$ un mapa tal que $x_i \circ \psi$ es una función regular. Queremos mostrar que $\psi$ es una de morfismos de variedades. Desde regular las funciones de forma de un anillo, entonces para cualquier polinomio $f \in k[x_1,\cdots,x_n]$ tenemos que $f \circ \psi$ es regular y por lo $\psi$ es continua. Ahora debemos demostrar que si $g$ es una función regular en $Y$, entonces para cualquier conjunto abierto $V$ $Y$ la función de $g \circ \psi: \psi^{-1}(V) \rightarrow k$ es regular. Hartshorne dice que esto sigue desde $g$ a nivel local es un cociente de polinomios.

Aquí está mi "protesta": para mostrar que $f \circ \psi$ es regular, tenemos que mostrar que es localmente un cociente de polinomios, donde los polinomios corresponden a la "correcta" espacio ambiental de $X$. Por ejemplo, si $X$ es una variedad proyectiva, entonces necesitamos $f \circ \psi$ a ser un cociente de polinomios homogéneos de grado igual. En otras palabras, $f \circ \psi$ a nivel local es un cociente de polinomios sólo después de pasar a través de $\psi$... Así que, ¿qué me estoy perdiendo aquí?

Answer 1

La suposición es que el $x_i\circ\psi$ es regular para todos los $i=1,\ldots,n$. Por lo tanto, a nivel local, en cualquiera de las coordenadas que tenemos en $X$, podemos expresar $x_i\circ\psi$ como un cociente de polinomios (de grado igual si $X$ es cuasi-proyectiva). En otras palabras, podemos escribir la función como $$\psi(p) = (\psi_1(p),\ldots,\psi_n(p))$$ with $p\in X$ and where each $\psi_i(p)$ is a quotient of polynomials in the ambient coordinates on $X$.

Ahora, cualquiera que sea la expresión es de $f$ como un polinomio en el $x_i$'s, podemos expresar $f\circ\psi$ como un cociente de polinomios, es decir, tenemos $$f\circ\psi(p) = f(\psi_1(p),\ldots,\psi_n(p))$$ which is clearly also a quotient of polynomials in the coordinates on $X$, since the $\psi_i(p)$ are and $f$ es un polinomio (y de nuevo, las cosas funcionan en la cuasi-proyectiva caso).