Encontrar todo $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$s.t $f(x^2+f(y))=(x-y)^2f(x+y)$

Question

Encontrar todos $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ s.t $$f(x^2+f(y))=(x-y)^2f(x+y)$ $

No quiero personas para resolver esta para mí que me gustaría saber si uno de mis pasos es legítima.

Así que $x=y$ y $f(x^2+f(x))=0$.

Poner $y=-x$ tengo $f(x^2+f(-x))=(2x)^2f(0)$

Entonces mi pregunta es esta como $(-x)^2=x^2$, puedo usar la primera ecuación para dar a entender que el R.H.S. segundo es igual a $0$.

Cualquier ayuda sería mucho apreció.

Answer 1

Sí se puede sustituir el $x$ $-x$ en la primera ecuación para obtener $f(x^2 + f(-x))$ y luego observando que este es el lado izquierdo de la ecuación de segundo.

Answer 2

$f$ es incluso.

Fix $y=0$, obtenemos $$x^2f(x) = f\big(x^2+f(0)\big).$$ When $x\neq 0$, we have $f(x) = f(-x)$.

$f$ es no trivial e inyectiva de a $x>0$.

Aviso por el OP del argumento, tenemos $f(0)= 0$, por lo tanto $$f(x^2) = x^2f(x). \tag{1}$$ Supongamos que para algunos $a>0, c>0$, $f(a+c) = f(a)$: $$ 0 = f\big(a^2 + f(a)\big) = f\big(a^2 + f(a+c)\big) = c^2 f(2a+c). $$ Así que hemos producido otro punto de $x= 2a+c$, de modo que $f(x)=0$, por (1), $f(\sqrt{2a+c}) = 0$ así, repita este proceso y tomando el límite debido a $f$ es continua, se llega a la conclusión de que $f(1) = 0$. Ahora vamos a $x+y=1$, $$ f\big(x^2 + f(1-x)\big) = 0. $$ Debido a la continuidad, hemos producido un barrio de puntos de $f=0$, a menos que $f(1-x) + x^2$ $\pm 1$ o $0$ que no encaja. Repita este argumento nos encontraremos con que $f=0$, contradicción.

$f(x) = -x^2$ o $f(x) \equiv 0$.

$f$ ser posible a cero de la siguiente manera a partir de la segunda parte. Ahora suponga $f$ es inyectiva de a $x>0$: Vamos a $y = x+1$: $$f\big(x^2+f(x+1)\big) = f(2x+1).$$ Por lo tanto $$x^2+f(x+1) = 2x+1, \;\text{ or } \;x^2+f(x+1) = -2x-1.$$ Al comprobar, primero no encaja, la segunda conduce a $f(x) = -x^2$.