¿Existen propiedades topológicas que son finitamente productivo pero no numerable productiva?

Question

Deje $X_i, i \in I$ ser un conjunto de espacios topológicos con propiedad $P$. Nos gustaría saber si $P$ mantiene para $\prod_{i \in I} X_i$ $I$ de diferentes cardinalidades.

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He mirado a través de una lista de propiedades topológicas, parece que sólo la "finitud" es finitely productivo (finito productos de conjunto finito es finito), pero no countably productivo.

En la literatura, parece que hay una tendencia a dividir propiedades topológicas para finitely productivo, countably productivo, y arbitrariamente productivo. Por ejemplo, en Munkres, la compacidad es la primera resultó ser finitely productivo, entonces inmediatamente nos lanzamos a teorema de Tychonoff.

Pero rara vez he visto casos en que una propiedad $P$ se lleva a cabo bajo finitely producto, pero no se puede mantener bajo contables de producto.

Por otro lado, una gran cantidad de propiedades que parece no cruzar la línea entre countably productivo y arbitrariamente productivo. Esto incluye la separación, primero contables, segundo contables, suslin, metrizability.

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¿Hay alguna interesante o muy conocidas propiedades topológicas que tiene bajo finito producto, pero no contables productos?

Answer 1

• Se podría argumentar que la definición de la topología producto le da una especie de respuesta a su pregunta. Deje $(X_i)_{i \in I}$ ser una familia de topológica del espacio y deje $U_i \subset X_i$ ser un conjunto abierto para cada una de las $i \in I$. Si la familia es finito, entonces $\prod_{i \in I} U_i$ es un subconjunto abierto de $\prod_{i \in I} X_i$ en el producto de la topología. Esto no es normalmente el caso cuando la familia es infinito.
• Un producto finito de espacios discretos, es discreta, pero esto no es así para los productos infinite.
• Un producto finito de colectores es un colector, pero no así para los infinitos productos (de acuerdo a la más convencional de la definición de un colector).
• Véase también la respuesta de Nate Elredge aquí. Así, por ejemplo, $\mathbb{R}^n$ se puede dar un compatibles espacio de Banach norma para cada finito $n$, pero el producto de la topología en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ no es inducida por cualquier norma completa. (Agregado: en realidad esto sólo es verdad si pensamos en $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ como tener un preferido espacio vectorial estructura).
• He aquí una idea bastante buena. Vamos a restringir la atención a los espacios de Hausdorff, por lo que la definición de "localmente compacto" no es un punto de contención. El producto de dos (por lo tanto, de un número finito) localmente compacto espacios localmente compactos. Sin embargo, un infinito producto local de espacios compactos es localmente compacto si y sólo si todos, pero un número finito de términos del producto son compactos. Así, por ejemplo, $\mathbb{R}^n$ es localmente compacto para cada finito $n$, pero $\mathbb{R}^\mathbb{N}$ no es localmente compacto.