Resultados perturbativos Kitaev modelo con campo magnético

Question

Tengo curiosidad de saber si hay resultados disponibles para la Kitaev modelo con un campo magnético -- en su papel de 2006, Kitaev obtiene la forma de la efectiva hamiltoniana (Eq. 46 en https://arxiv.org/abs/cond-mat/0506438), sin embargo no da el preciso prefactors. También se preguntan acerca de la resolución del 2 de contribución (que es proporcional a la identidad) -- me gustaría ver cuál sería la correcta contabilización.

Gracias!

Answer 1

Sí, el resultado exacto se puede encontrar en Eq. (30) de nuestro papel arXiv:1109.4155:

$$\kappa = \frac{h_xh_yh_z}{8 u_0^2 J^2},$$

donde $u_0$ es un factor numérico obtenido al resolver el campo medio de la ecuación numéricamente. Kitaev menciona en su documento que $\Delta E = |u_0J|\approx 0.27|J|$ ( $u_0\approx -0.27$ ), y proporcionar un resultado más exacto $u_0\approx −0.262433$ en Eq. (27) de nuestro papel. La perturbación explícito camino se ilustra en la Fig. 5(a) de nuestro papel (que es un 3er orden de perturbación, no un 2º orden uno, por lo que insistió en Kitaev del papel).

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Permítanme describir brevemente la derivación a continuación. Partimos de una isotrópica Kitaev de nido de abeja modelo con un perturbativa de Zeeman de campo ($|\boldsymbol{h}|\ll J$),

$$H=-J\sum_{\langle ij\rangle}S_i^{a}S_j^{a}-\sum_{i}\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol{S}_i,$$

donde $a=1,2,3$ depende del tipo de ($x,y,z$) del enlace de $\langle ij\rangle$. Introducir cuatro Majorana spinons $\chi_i^\alpha$ ($\alpha=0,1,2,3$) en cada sitio de $i$, definido por la anticommutation relación $\{\chi_i^\alpha, \chi_{j}^{\beta}\}=\delta_{ij}\delta_{\alpha\beta}$ (nota de la inusual normalización de la Majorana operador de aquí). En el indicador de restricción (constraint) $\chi_{i}^0\chi_{i}^1\chi_{i}^2\chi_{i}^3=1/4$, el spin operador $\boldsymbol{S}_i$ puede ser escrito en términos de la spinon bilineal forma como

$$\boldsymbol{S}_i=\frac{i}{2}\Big(\chi_i^0\boldsymbol{\chi}_i-\frac{1}{2}\boldsymbol{\chi}_i\times\boldsymbol{\chi}_i\Big),$$

donde el vector $\boldsymbol{\chi}_i=(\chi_i^1,\chi_i^2,\chi_i^3)$ es de los últimos tres componentes de la Majorana fermión. Podemos ver que la $\chi^0$ ($c$-fermión) difiere de $\chi^{1,2,3}$ ($b$-fermión) en este desde el fraccionamiento esquema. Esta diferencia se refleja también en el medio-campo Hamiltoniano $H_\text{MF}$. En la imperturbable límite $\boldsymbol{h}=0$, $H_\text{MF}$ puede ser obtenida al sustituir la expresión para $\boldsymbol{S}_i$ a la vuelta de Hamilton y tomar el campo medio de la descomposición descrita por Kitaev:

$$H_\text{MF}=J\sum_{\langle ij\rangle}\big(\text{i}u_a \chi_i^0\chi_j^0+\text{i}u_0\chi_i^a\chi_j^a\big),$$

donde el vínculo parámetro $u_\alpha=\langle\text{i}\chi_{i}^\alpha\chi_{j}^\alpha\rangle$ ( $\alpha=0,1,2,3$ ) se determina auto-consistente de la Majorana fermión de correlación en la media-suelo del campo de estado (nota: $a=1,2,3$ es fijado por el tipo de vínculo, no un maniquí índice que se va a sumar más). Se encontró que la media de solución de campo lecturas de $u_a=1/2$ $$u_0=-\frac{1}{3N}\sum_{\boldsymbol{k}\in\text{BZ}}\big|e^{\text{i}k_y}+2e^{-\text{i}k_y/2}\cos(\sqrt{3}k_x/2)\big|\approx -0.262433,$$ donde $N$ es el número de sitios (podemos evaluar la suma numéricamente en un número finito de red y, a continuación, tomar el límite termodinámico $N\to\infty$). La estructura de banda de la spinon puede ser obtenida por diagonalizing el medio campo Hamiltoniano, como se muestra a continuación:

Uno puede ver que el $\chi^0$ fermión es itinerante y tiene un sin pausas espectro. Pero el $\boldsymbol{\chi}=(\chi^1,\chi^2,\chi^3)$ fermiones son dimerizado en el correspondiente tipo de vínculos y, por lo tanto aislados (como la banda plana). La brecha de energía para $\boldsymbol{\chi}$ fermiones es $\Delta E=|u_0J|$.

Si sólo estamos interesados en los bajos de la energía de la física, podemos descuidar la alta energía $\boldsymbol{\chi}$ fermiones. Sin embargo, una vez que el Zeeman campo se introduce en el sistema, la mezcla es encendida entre el nivel de energía $\chi^0$ y de alta energía $\boldsymbol{\chi}$ fermiones (y también de la mezcla entre los componentes de $\boldsymbol{\chi}$). Por lo tanto una perturbación de la vía se ilustra a continuación, se vuelve posible:

lo que resulta en una 2ª vecino más cercano de acoplamiento entre el nivel de energía $\chi^0$ fermión,

$$H_{\text{MF},0}=\text{i}u_a J\sum_{\langle ij\rangle} \chi_i^0\chi_j^0+\text{i}\kappa\sum_{\langle\!\langle ij\rangle\!\rangle}\chi_i^0\chi_j^0,$$

con el coeficiente de $\kappa$ dada por el 3er fin de perturbación (ver esta página de Wikipedia para el 3er fin de perturbación de la fórmula)

$$\kappa=\Big(\frac{h_x}{2}\Big)\frac{1}{u_0J}\Big(-\frac{h_z}{2}\Big)\frac{1}{u_0J}\Big(-\frac{h_y}{2}\Big)=\frac{h_xh_yh_z}{8u_0^2J^2}.$$

La 2ª vecino de acoplamiento plazo $\kappa$ rompe el momento de reversión de la simetría y las brechas de la baja energía fermión $\chi^0$. Los registros de viajes Kitaev girar el líquido es conducido después en la no-Abelian fase con la Ising orden topológico.