El % de la extensión $\mathbb{Q}_3 / \mathbb{Q}$no es algebraico

Question

Voy a empezar desde el principio: la definición de $\mathbb{Z}_p$ (el anillo de $p$-ádico enteros) que nos enseñaron es el conjunto de series infinitas $(a_1, a_2, \ldots)$ tal que $a_{i+1}\equiv a_i \pmod{p^i}$ (estoy omitiendo algunos detalles formales, esto es sólo una aclaración). A continuación, definimos $\mathbb{Q}_p$ como el campo de fracciones de $\mathbb{Z}_p$ (clases de equivalencia de pares de $p$-ádico enteros...).

Estoy diciendo todo esto porque esto es realmente todo lo que sé acerca de $p$-ádico números. Ah, y también que hay una natural la incorporación de la $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{Q}_p$ (derivado de la visualización de la $p$-ádico entero $(k, k, k,\ldots)$ como el entero $k$).

Así que ahora estoy solicitada para mostrar que la extensión de $\mathbb{Q}_3 / \mathbb{Q}$ no es algebraico, es decir, existe un $3$-ádico racional que no es raíz de ningún polinomio en $\mathbb{Q}[x].$

Puedo pensar en algunas $3$-ádico racionales que no están en el incrustados $\mathbb{Q}$, pero en la muestra de uno de ellos no es algebraica es bastante más difícil.

Podría alguien por favor me ilumine?

Answer 1

Si lo que desea es mostrar que existen trascendental de los elementos de $\mathbb{Q}_p$, Franz Lemmermeyer el argumento de los comentarios es una buena manera de ir: $\mathbb{Q}_p$ es incontable, pero sólo countably muchos elementos pueden ser algebraicas sobre $\mathbb{Q}$.

Es posible que escriban un elemento trascendental $\mathbb{Q}_p$ $p$- ádico versión de Liouville constante.

Reclamo: El $p$-ádico número $$ \alfa:=\sum_{n=0}^\infty p^{n!} $$ es trascendental $\mathbb{Q}$.

En primer lugar necesitamos un lema.

Lema: Vamos a $f(T)\in\mathbb{Z}[T]$ ser un no-constante plaza libre polinomio de grado $d$, y supongamos $x_0\in\mathbb{Z}_p\backslash\mathbb{Z}$ es una raíz de $f$. Entonces existe una constante $C$ tal que para todos los $x\in\mathbb{Z}$ lo suficientemente cerca de a $x_0$, $$ v_p(x-x_0)\leq d\cdot\log_p(|x|) + C. $$

Prueba: se puede escribir $f(x)$ como un polinomio en $(x-x_0)$, dicen $$ \etiqueta{1}f(T)=\sum_{n=1}^d a_d(T-x_0)^n. $$ El término constante se desvanece debido a $x_0$ es una raíz de $f$, e $a_1\neq 0$ porque $f(T)$ es la plaza libre. Para $x$ lo suficientemente cerca de a $x_0$, el mayor plazo en $(1)$ es la primera, así que $$ v_p(f(x)) = v_p(a_1) + v_p(x-x_0). $$ Ahora $f(x)$ es un entero distinto de cero, por lo $v_p(f(x))\leq \log_p(|f(x)|)$. También tenemos $|f(x)|\leq A |x|^d$ donde $A$ es la suma de los valores absolutos de la coefficieints de $f$. Así, hemos demostrado $$ v_p(x-x_0)=v_p(f(x))-v_p(a_1)\leq \log_p(A|x|^d)-v_p(a_1)=d\log_p(|x|)+\log_p(A)-v_p(a_1). $$ Esto completa la prueba.

La prueba de la reclamación: Por el bien de la contradicción, supongamos $f(T)\in\mathbb{Z}[T]$ es irreducible de grado $d$ e ha $\alpha$ como una raíz. Para $N=0,1,2,\ldots,$ definir $$ x_N:=\sum_{n=0}^N p^{n!}, $$ de modo que $x_N\to\alpha$$N\to\infty$. Deje $C$ ser la constante garantiza que existe por el lema ($f(T)$ es cuadrado-libre porque es irreductible). Entonces $$ (N+1)!=v_p(\alpha-x_N)\leq d \log_p(x_N)+C\leq d (N!+1) + C. $$ Esto es una contradicción, una vez $N$ es mayor que $d+|C|$.