ecuación diferencial, broca de más de lo que podía masticar

Question

Empecé el camino de un proyecto para la escuela que fue inspirado por los cazadores de mitos. El oritinal pensamiento estaba mostrando por qué una bala efectivamente va a dejar de eficacia más allá de una profundidad dada. Así que estoy meciendo $F_d = \frac{1}{2}pv^2AC_d$ que podemos comprimir de manera efectiva hacia abajo a $F = Kv^2$ como el resto de mis propósitos serán constantes. La aplicación de las leyes de newton a este le damos la vuelta a $y' = a / y'' = a$, lo $F=ma = my''$, después de un poco de ayuda de un amigo llegamos a $y'' = \frac{F}{m} = \frac{K}{m}(y')^2$. Dejando $\alpha=\frac{K}{m}$, con lo que colapsar el problema finalmente abajo a $y'' = \alpha(y')^2$

Este es el quid de mi problema. ¿Alguien puede explicar el método para solucionar esto? Parece que esta es un poco más allá de la calc II este curso fue originalmente para. Pero viendo que ya estoy profundos del cuello en el problema de otras maneras, no veo el punto de renunciar a ella ahora.

Answer 1

Si no me equivoco, se llama al método "Reducción de orden": la idea básica: tomar $y^\prime = z$ e insértelo en su ecuación s.t. $$ z ^ \prime = \alpha z $$ y solucionar esto como una oda. Simplemente calcular $y$ $y^\prime = z$.

Answer 2

Su ecuación es equivalente a $$\left(\frac{1}{y'}\right)'=-\alpha,$ $ que significa que el $1/y'=-\alpha t+C$ o $y'=-1/({\alpha t-C})$. A continuación, integrar una vez más para obtener %#% $ #% donde $$y(t)=-\int\frac{dt}{\alpha t-C}=-\frac{1}{\alpha}\ln(\alpha t-C)+D,$, $C$ son dos constantes arbitrarias de integración.