Las rotaciones de bidiagonal matrices

Question

Deje $B$ es superior bidiagonal de la matriz. Considere el siguiente algoritmo:

$ B_0 = B, C_k = B_{k-1}Q_k, B_k = Z_kC_k $,

donde $B_k$ es superior bidiagonal, $C_k$ es menor bidiagonal y $Q_k$ $Z_k$ son unitarias. Así, en cada iteración, podemos cambiar el superior bidiagonal de la matriz a la inferior y viceversa. Probar que las matrices de $B_k$ $C_k$ converge a la misma matriz diagonal.

Realmente no tengo ideas de cómo demostrarlo. Supongo que las matrices de $Q_k$ $Z_k$ puede ser implementado como una rotaciones de Givens. Pero tal vez hay otras variantes de transformaciones $Q_k$$Z_k$.

También me di cuenta de que después de cada iteración el valor absoluto de a $\{B_k\}_{11}$ $\{C_k\}_{11}$ es creciente debido a que la central unitaria de transformar guarda la segunda norma. Y por las mismas razones que el valor absoluto de a $\{B_k\}_{nn}$ $\{C_k\}_{nn}$ está disminuyendo. Pero no puedo decir nada acerca de el intermedio de la diagonal de los elementos.

Tal vez esto declaraciones es una parte de algún algoritmo de construcción de enfermedad vesicular porcina, pero yo no conozco a este algoritmo. Gracias por la ayuda de las ideas!

Answer 1

Recordar que transforma unitario salvar la segunda norma del vector. Así pues, tenemos $$ Z\begin{bmatrix} \times & 0 & 0 & \dots & 0 \\ \times & \times & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \times & \times & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \times \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \times & \times & 0 & \dots & 0 \\ 0 & \times & \times & \dots & 0 \\ 0 & 0 & \times & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & \times \\ \end{bmatrix} $$

Por lo tanto, para la primera columna tenemos $ |\{C_n\}_{11}|^2 + |\{C_n\}_{21}|^2 = |\{B_{n+1}\}_{11}|^2 $ y $ |\{B_n\}_{11}|^2 + |\{B_n\}_{12}|^2 = |\{C_{n}\}_{11}|^2 $. Desde $\{B_n\}_{11}$ y $\{C_n\}_{11}$ no tensar hasta el infinito, $|\{C_n\}_{21}|, |\{B_n\}_{12}| \to 0$. Usarlo y escribir las ecuaciones del mismo para la segunda columna y fila podemos afirmar que $|\{C_n\}_{32}|, |\{B_n\}_{23}| \to 0$ y así sucesivamente. Tenso de todos elementos nondiagonal $0$.