Supongamos que tengo una moneda sesgada con probabilidad de cara p y prueba q=(1-p). Luego se utiliza en un juego que dura como máximo N lanzamientos, y comienza con una apuesta de £1. Cada vez que la moneda sale cruz mi dinero se duplica. La primera vez que sale cara, mi dinero se reduce a £1, y la segunda vez que sale cara, pierdo todo mi dinero. El juego termina después de N lanzamientos, o después de la segunda cara. ¿Cuál es la expectativa de mi dinero al final del juego?
Respuestas
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HappyEngineer
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111
Con probabilidad $(1-p)^N$ no obtienes ninguna cara y terminas con $2^N$.
Para $k=1,..,N$, con probabilidad $p(1-p)^{N-1}$ obtienes un único "cara" en el lanzamiento $k$. Entonces terminas con un valor de $2^{N-k}$.
Cualquier otro resultado terminas con cero.
Entonces, el valor esperado es:
$$(1-p)^N2^N + p(1-p)^{N-1}\left(1+2+2^2+...+2^{N-1}\right) = $$ $$(1-p)^{N-1}\left[(1-p)2^N+p(2^N-1)\right]=$$ $$(1-p)^{N-1}\left(2^N-p\right)$$
Oli
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89
Sea $m$ la cantidad de dinero que tienes antes de tu primer lanzamiento. (El problema especifica $ m = 1 $, pero no me di cuenta. Por lo tanto, podríamos mirar esta situación ligeramente más general.) Si tienes mucha suerte, todos los resultados son cola, con una probabilidad de $ q^N $, terminarás con $ m2^N $.
O podría ser que haya $ 1 $ cara y el resto colas. La probabilidad de que esto suceda en cualquier particular de los $ N $ lanzamientos es $ pq^{N-1 } $. Supongamos que sucede en el último lanzamiento. Entonces terminas con $ 1 $. Si sucede en el lanzamiento anterior, terminas con $ 2 $. Si sucede en el lanzamiento anterior a ese, terminas con $ 4 $, y así sucesivamente. Finalmente, si la cara aparece en el primer lanzamiento, terminas con $ 2^{N-1} $. (No parece razonable si $ m = 1 $: ¡el lanzamiento fue malo pero el casino te permitió quedarte con tu 1 libra!) Entonces la expectativa es $$ m2^Nq^N + (1 + 2 + \cdots + 2^{N-1}) pq^{N-1} $$ La expresión se puede simplificar al notar que $ 1 + 2 + \cdots + 2^{N-1} = 2^N-1 $.
Ahora ponemos $ m = 1 $ para el problema actual como se pide.
