Ecuación de la cuerda de la hipérbola que une los puntos $(a\sec\phi,b\tan\phi)$ y $(a\sec\phi_1,b\tan\phi_1) $ $$y-b\tan\phi=\frac{b\tan\phi-b\tan\phi_1}{a\sec\phi-asec \phi_1}(x-a\sec\phi) $$ Esto se reduce a $$\frac{y}{b}\sin\Big(\frac{\phi+\phi_1}{2}\Big)-\frac{x}{a}\cos\Big(\frac{\phi-\phi_1}{2}\Big)=\tan\phi \sin\Big(\frac{\phi+\phi_1}{2}\Big)-\sec\phi \cos\Big(\frac{\phi-\phi_1}{2}\Big) $$ Ahora quiero reducir esto en la forma $$-\frac{y}{b}\sin\Big(\frac{\phi+\phi_1}{2}\Big)+\frac{x}{a}\cos\Big(\frac{\phi-\phi_1}{2}\Big)=\cos\Big(\frac{\phi+\phi_1}{2}\Big) $$ ¿Cómo conseguir este formulario? La mayoría de los libros lo utilizan pero no dan la prueba que busco.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Si se multiplican ambos lados de $$\frac{y}{b}\sin\Big(\frac{\phi+\phi_1}{2}\Big)-\frac{x}{a}\cos\Big(\frac{\phi-\phi_1}{2}\Big)=\tan\phi \sin\Big(\frac{\phi+\phi_1}{2}\Big)-\sec\phi \cos\Big(\frac{\phi-\phi_1}{2}\Big)$$ por $-1$ lo consigues: $$\frac{x}{a}\cos\Big(\frac{\phi-\phi_1}{2}\Big)-\frac{y}{b}\sin\Big(\frac{\phi+\phi_1}{2}\Big)=\sec\phi \cos\Big(\frac{\phi-\phi_1}{2}\Big)-\tan\phi \sin\Big(\frac{\phi+\phi_1}{2}\Big)$$ lo que significa que todo lo que tenemos que demostrar es que: $$ \sec\phi \cos\Big(\frac{\phi-\phi_1}{2}\Big)-\tan\phi \sin\Big(\frac{\phi+\phi_1}{2}\Big)=\cos\left(\frac{\phi+\phi_1}{2}\right) $$ lo cual puedes probar haciendo lo siguiente: $$ \sec \phi\left[ \cos\Big(\frac{\phi-\phi_1}{2}\Big)-\sin\phi \sin\Big(\frac{\phi+\phi_1}{2}\Big)\right]$$ luego descomponer el coseno y el seno utilizando la fórmula de la suma: $$ \sec \phi \left[ \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\phi_1}{2}\right)+\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{\phi_1}{2}\right) \\ -\sin\phi\left( \sin\left(\frac{\phi}{2}\right) \cos\left(\frac{\phi_1}{2}\right)+\cos\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{\phi_2}{2}\right) \right) \right] $$ entonces utiliza la identidad $\sin\phi=2\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\phi}{2}\right)$ y reunir algunos términos similares para obtener:
$$ \sec \phi \left[ \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\left[ 1-2\sin^2\left(\frac{\phi}{2}\right)\right]+\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\left[ 1-2\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right) \right] \right] $$ entonces puede utilizar las identidades $$\cos\phi=2\cos^2\left(\frac{\phi}{2}\right)-1=1-2\sin^2\left(\frac{\phi}{2}\right)$$ para conseguirlo: $$ \sec \phi \left[ \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\left[\cos\phi\right]+\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{\phi_1}{2}\right)\left[-\cos\phi \right] \right]$$ que da: $$ \cos\left(\frac{\phi}{2}\right)\cos\left(\frac{\phi_1}{2}\right)-\sin\left(\frac{\phi}{2}\right)\sin\left(\frac{\phi_1}{2}\right) $$ que, por supuesto es: $$ \cos\left(\frac{\phi+\phi_1}{2}\right) $$ que es lo que necesitábamos mostrar.
Juan Sosa
Puntos
236
Los rhs de sus ecuaciones segunda y tercera deben ser iguales y opuestos, como se puede comprobar: $$ \tan\phi \sin { \phi + \phi_1 \over 2} - \sec \phi \cos {\phi - \phi_1 \over 2} + \cos {\phi + \phi_1 \over 2} = {1 \over \cos \phi} \left( \sin \phi \sin {\phi+ \phi_1 \over 2} - \cos { \phi- \phi_1 \over 2} + \cos \phi \cos { \phi+ \phi_1 \over 2} \right)= {1 \over \cos \phi} \left( \cos { \phi - \phi_1 \over 2} - \cos {\phi - \phi_1 \over 2} \right) = 0 $$ donde en la tercera línea, he utilizado la identidad trigonométrica $$ \cos (a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b $$
Otro método que no requiere el uso ingenioso de las identidades trigonométricas es el siguiente
Ecuación de la tangente a la hipérbola en el punto $(asec \ A,btan \ A)$ es $$\frac{x}{a}sec \ A-\frac{y}{b}tan\ A=1 $$ Ecuación de la tangente a la hipérbola en el punto $(asec \ B,btan \ B)$ es $$\frac{x}{a}sec \ B-\frac{y}{b}tan\ B=1 $$ La intersección de estas dos tangentes es el punto $$\Bigg(a\frac{cos\frac{A-B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}},b\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}\Bigg) $$ La ecuación de la cuerda de contacto de un punto de una cónica es $T=0$ . Por lo tanto, la ecuación de la cuerda es $$\frac{x}{a^2}a\frac{cos\frac{A-B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}} -\frac{y}{b^2}b\frac{sin\frac{A+B}{2}}{cos\frac{A+B}{2}}=1 $$ Lo cual, simplificando, da como resultado $$\frac{x}{a}{cos\frac{A-B}{2}}-\frac{y}{b}sin\frac{A+B}{2}=cos\frac{A-B}{2} $$
