Mostrar que $f(x) = 1$ para todo el intervalo

Question

Que una función continua de $f(x)$ $[a,b]$

Supongamos

% $ $$\frac{1}{b-a} \int_a^b (f(x))^2 \, dx = 1$Y

$$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx = 1$$

Mostrar que $f(x) = 1$ % todos $x \in [a,b]$.

He intentado usar el teorema del valor medio para integrales y sólo tengo que existen $c \in [a,b] $ tal que $f(c) = 1$, no estoy seguro de cómo introducir la primera Asunción.

Gracias de antemano

Answer 1

Contorno:

Demostrar que si $g$ es continua y no negativa en $[a,b]$ y $\int_a^b g(x) \, dx = 0$ y $g(x)=0$.

Entonces prueba que esta condición sea verdadera $g(x)=(f(x)-1)^2$.

Answer 2

Enfoque alternativo utilizar la identidad:

$$\int_a^b f^2(x)\,dx\int_a^b g^2(x)\,dx - \left(\int_a^b f(x).g(x)\,dx\right)^2 \\= \frac{1}{2}\int_a^b\int_a^b (f(x)g(y) - g(x)f(y))^2\,dx\,dy$$

$g(x) = 1$, $LHS = 0$ por las condiciones dadas, que implica $f(x) =f(y)$

desde $(f(x) - f(y))^2 \ge 0$ y $$\displaystyle \int_a^b\int_a^b (f(x) - f(y))^2\,dx\,dy = 0 \implies f(x) - f(y) = 0$ $

es decir, $f$ es una función constante.

Nota: Esto es una prueba de la Desigualdad de Cauchy-Schwarz y ecuaciones se trata el caso de igualdad de esta desigualdad.

Answer 3

Supongamos que $a=0,b=1$ (para simplificar). Por lo tanto, los givens es $\newcommand{\d}{\operatorname{d}\!}\int_0^1(f(x))^2\d x=1$ y $\int_0^1f(x)\d x=1$.

Ahora, consideremos el valor $\int_0^1(f(x)-1)^2\d x$. Tenga en cuenta % de iff $\int_0^1(f(x)-1)^2\d x=0$% #%. (¿Ves por qué?)

Ahora:\begin{align} \int_0^1(f(x)-1)^2\d x&=\int_0^1\left((f(x))^2-2f(x)+1\right)\d x\\ &=\int_0^1(f(x))^2\d x-2\int_0^1f(x)\d x+\int_0^11\d x\\ &=1-2+1\\ &=0 \end {Alinee el} así, $f(x)=1$ y por lo tanto $\int_0^1(f(x)-1)^2\d x=0$.

Answer 4

Sugerencia:

En primer lugar, supongamos que $a=0$ y $b=1$, facilitará las cosas. Ahora, supongamos que $f$ no $1$ todo el tiempo. Por lo tanto podría elegir un pequeño intervalo de $I\subset [0,1]$ tal que $f(x)>1+\epsilon$ % todo $x\in I$, donde $\epsilon>0$ es una constante. ¿Se puede hacer una contradicción aquí? (Tenga en cuenta que si $f(x)>1+\epsilon$, entonces $f^2>f$)