Encontrar el valor promedio de la función...

Question

Encontrar el valor promedio de la función $$F(x) = \int_x^1 \sin(t^2) \, dt$$ on $ [0,1] $.

Sé que es el valor promedio de una función $f(x)$ $[a,b]$ $f_\text{avg}=\dfrac1{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$, pero no sé cómo aplicar a esta pregunta... ¿Los loos de función como la integral de Fresnel? Pero eso no muy me ayuda tampoco.

Answer 1

Usted puede usar

Answer 2

$$ \begin{align} \int_0^1\int_x^1\sin\left(t^2\right)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}x &=\int_0^1\int_0^t\sin\left(t^2\right)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}t\\ &=\int_0^1\sin\left(t^2\right)\,t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac12\int_0^1\sin\left(t^2\right)\,\mathrm{d}t^2\\ &=\frac12\left[-\cos\left(t^2\right)\right]_0^1\\[3pt] &=\frac{1-\cos(1)}2 \end {align} $$