Aquí es el caso de abelian grupos:
Teorema: Si $M$ es un grupo abelian con $M \otimes M \otimes M = 0$, $M$ es un múltiplo de torsión abelian grupo y $M \otimes M = 0$.
La prueba es bastante estándar abelian teoría de grupos. Básica subgrupos probablemente no son muy conocidos fuera de esa teoría (al menos nunca he aprendido acerca de ellos durante los anillos que no eran los dominios de Dedekind). Fuchs del Infinito Abelian Grupos de volumen 1 tiene todos los detalles (capítulo V. 27, VI.32-33, y X. 61 debería ser todo lo necesario, más allá de un curso básico de módulos). Sospecho que los resultados dependen de $R$ ser un dominio de Dedekind, ya que de lo contrario la noción de DSC subgrupo está completamente roto (que afectan a la prueba en varios lugares). Si quieres salvar, de la categoría de la versión de DSC se llama pura proyectiva.
En cualquier caso, no creo que nada de esto funciona para $R=k[x,y]_{(x,y)}$, de ahí mi sugerencia de mirar allí.
$p$-grupos
Proposición: Si $M$ $N$ son abelian $p$-grupos, a continuación, $M \otimes N=0$ fib al menos uno de $M$ o $N$ es divisible.
Supongamos $A$ es un abelian $p$-grupo. Entonces existe un (llamados básicos subgrupo) $B \leq A$ con las propiedades: (1) $B$ es una suma directa de grupos cíclicos, (2) $B$ es puro en $A$, y (3) $A/B$ es divisible.
Considere la posibilidad de $A \otimes M$ por un abelian $p$grupo $M$. Por (2), obtenemos que $0 \to B \otimes M \to A \otimes M \to (A/B) \otimes M \to 0$ es exacta, y (3) obtenemos que $(A/B) \otimes M = 0$, por lo que el $B \otimes M \cong A \otimes M$. Por (1) tenemos que $B \cong \bigoplus_{i=1}^\infty \left(\mathbb{Z}/p^i\mathbb{Z}\right)^{(n_i)}$ para los cardenales $n_i$. Por lo tanto $$A\otimes M \cong B \otimes M \cong \bigoplus_{i=1}^\infty \left(M/p^iM\right)^{(n_i)}$$
Esto es igual a cero iff para cada $i$, $M=p^iM$ o $n_i=0$. Tenga en cuenta que $M=p^iM$ fib $M=pM$, de modo que la dependencia de la $i$ es engañosa: $B=0$ o $M=pM$. Por (3), obtenemos que o bien $B$ es divisible o $M$ es divisible. Esto demuestra la proposición.
Proposición: Si $M$ $N$ son abelian $p$-grupos, a continuación, $M \otimes N$ es divisible iff es cero.
Tenga en cuenta que $M/p^iM$ es un delimitada $p$-grupo, por lo que una suma directa de grupos cíclicos, por lo tanto el tensor de productos de abelian $p$-los grupos son directos sumas de grupos cíclicos, por lo tanto, reducido.
Corolario: Si $M$ es un abelian $p$-grupo con $M \otimes M \otimes M =0$, $M$ es divisible y $M \otimes M=0$.
De $M \otimes M \otimes M = 0$ tenemos que $M \otimes M$ es divisible, y por lo $M \otimes M = 0$, y por lo $M$ es divisible.
la torsión de los grupos de
Torsión abelian grupos son directos sumas de $p$-grupos, escrito $T = \oplus T_p$. Si $P$ es un abelian $p$- $Q$ es un abelian $q$-grupo para$p\neq q$,$P \otimes Q=0$. Si $M$ $N$ son de torsión abelian grupos, entonces también lo es $M \otimes N$, e $(M \otimes N)_p = M_p \otimes N_p$. Por lo tanto las proposiciones y corolario mantenga con "$p$-grupo" reemplazar con "torsión del grupo".
torsión libre de grupos
Proposición: Si $M$ $N$ son de torsión libre de abelian grupos, a continuación, $M \otimes N = 0$ fib $M=0$ o $N=0$.
Corolario: Si $M$ es una de torsión libre de abelian grupo con $M \otimes M \otimes M = 0$$M = 0$.
grupos mixtos
Considere la posibilidad de la pura secuencia $0 \to t(M) \to M \to M/t(M) \to 0$. Por lo tanto $0 \to t(M) \otimes N \to M \otimes N \to M/t(M) \otimes N \to 0$ es exacta. Si $M \otimes N = 0$,$t(M) \otimes N = M/t(M) \otimes N = 0$.
Supongamos $M \otimes M \otimes M = 0$. A continuación,$t(M) \otimes (M \otimes M) = 0$$t(M) \otimes t(M) \otimes t(M) = 0$, lo $t(M)$ es divisible por el corolario de torsión. Del mismo modo, abreviar $X/t(X)$$tf(X)$, obtenemos $tf(M) \otimes tf(M) \otimes tf(M) = 0$$tf(M) = 0$. Por lo tanto $M =t(M)$, y el teorema está demostrado.
