Prueba factorial por pregunta de inducción?

Question

$\text{Use the PMI to prove the following for all natural numbers n.}$

$ \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \cdot \cdot \cdot + \frac{n}{(n+1)!} = 1 - \frac{1}{(n+1)!} $

Así que para esta pregunta me quedo atascado porque no me parece que el lado izquierdo y el lado derecho es equivalente.

$\color{Green}{Proof} :$

$\mathbf (I) \; Basis \; Step :$ Muestra $p(1).$ $n=1$

$\frac{1}{(1+1)!} = 1- \frac{1}{(1+1)!} \Rightarrow \frac12 = \frac12$

$\mathbf (II) \; Inductive \; Step : $

Suponga $p(k)$ para un PAC $k \in ℕ ,\; \; \;\; n=k$

$ \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} +\cdot\cdot\cdot + \frac{k}{(k+1)!} = 1-\frac{1}{(k+1)!} \; \; \text{Induction Hypothesis}$

Lado izquierdo : Tenemos que mostrar : $p(k+1)$ es decir $n = k+1$

$\frac{k}{(k+1)!} + \frac{k+1}{(k+1+1)!} \Rightarrow \ $

$\frac{(k+1)}{(k+1+1)!} +1 - \frac{1}{(k+1)!} $

Lado Derecho: $ n =k+1$

$\left( 1- \frac{1}{(k+1+1)!}\right) = 1- \frac{1}{(k+2)!}$

Aquí es donde he hecho mi error porque creo que he hecho una media aritmética error en el lado izquierdo, porque no puedo conseguir que sean verificables. Consejos sobre cómo corregir el error sería apreciada. Tener una buena.

Answer 1

Por la hipótesis inductiva, sabemos que \begin{align*} \frac{1}{2!} + \cdots + \frac{k}{(k+1)!} + \frac{k+1}{(k+2)!} &= 1 - \frac{1}{(k+1)!} + \frac{k+1}{(k+2)!} \\ &= 1 - \frac{k+2}{(k+2)!} + \frac{k+1}{(k+2)!} \\ &= 1 - \frac{1}{(k+2)!}.\end {align *} Por lo tanto, si la sentencia es verdadera para$n=k$, entonces es verdadera para$n = k+1$, por inducción, es verdad para todos $n \in \mathbb{N}$.

Answer 2

Lo que necesita mostrar en el paso de inducción es que

ps

Dado que su hipótesis de inducción es que la suma de los primeros$$\frac1{2!}+\frac2{3!}+\ldots+\frac{k}{(k+1)!}+\frac{k+1}{(k+2)!}=1-\frac1{(k+2)!}\;.$ términos a la izquierda es$k$, esto equivale a mostrar que

ps

Si multiplica$1-\frac1{(k+1)!}$ por$$1-\frac1{(k+1)!}+\frac{k+1}{(k+2)!}=1-\frac1{(k+2)!}\;.$ en la forma cuidadosamente seleccionada$\frac1{(k+1)!}$, debería tener poca dificultad para mostrar esto.

Answer 3

Aunque este post no aborda el tema específico planteado en el PO, pensé que podría ser instructivo presentar una manera alternativa de avanzar. Con ese fin, observamos que

$$ \begin{align} \frac{k}{(k+1)!}&=\frac{(k+1)-1}{(k+1)!}\\\\ &=\frac{1}{k!}-\frac{1}{(k+1)!} \end {align} $$

Ahora, la suma se convierte en una suma telescópica y tenemos inmediatamente

ps

Como se iba a mostrar!