Cómo demostrar la divergencia de forma elemental

Question

Tengo este problema: dar un ejemplo de una secuencia real $\;\{a_n\}\;$ con

$$\lim_{n\to\infty}\left(a_{n+1}-a_n\right)=0\;,\;\;\text{but}\;\;\lim_{n\to\infty}a_n\;\;\text{doesn't exist finitely}$$

Los dos ejemplos clásicos que conozco, a saber, la secuencia de sumas parciales de la serie armónica, y la secuencia $\;\{\log n\}\;$ ambos utilizan la teoría de las series infinitas o la continuidad de la función $\;\log x\;$ , necesaria para deducir la existencia y el valor del límite

$$\log(n+1)-\log n=\log\frac{n+1}n\xrightarrow[n\to\infty]{}\log1=0$$

Estoy tratando de ayudar a alguien que sólo ha estudiado las secuencias y sus límites y ahora está en la parte de las secuencias de Cauchy, pero tiene no estudiado series ni funciones y continuidad.

Cualquier ejemplo en esto será apreciado.

Answer 1

También se puede considerar la secuencia $(a_n)$ que viene dado por $a_n = \sqrt{n}$ .

Tenga en cuenta que todo lo que quiere tener puede mostrarse elementalmente. Si $(a_n)$ convergería, entonces $(a_n^2)$ también convergería, pero eso no es posible. Se puede utilizar un argumento similar para la no limitación de $(a_n)$ . La convergencia de $\sqrt{n+1} - \sqrt{n} \to 0$ también se puede mostrar fácilmente.

Answer 2

¿Qué tal sumas parciales de $$1+\frac12+\frac12+\frac13+\frac13+\frac13+\frac14+\frac14+\frac14+\frac14+\cdots$$

Answer 3

Al igual que en el otro ejemplo, ¿qué tal si $$ \frac{1}{2}, \frac{1}{2}+\frac{1}{2}, \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4},\cdots $$