Ayuda de descomposición de fracción parcial

Question

En un texto que estoy leyendo, dicen que el parcial siguiente fracción ($r$ fijo) la expansión es "fácilmente calculada":

$$f(z) = \frac{z^r}{(1-z)(1-2z)(1-3z)\cdots (1-rz)} = \frac{1}{r!} \sum_{j=0}^r \binom rj \frac{(-1)^{r-j}}{1-jz}$$

Yo sé cómo hacer fracciones parciales, o al menos eso pensaba yo. He intentado hacerlo con algo como $$\frac{A_1}{1-z} + \frac{A_2}{1-2z} + \cdots + \frac{A_r}{1-rz}$$ pero lo tengo complicado. También, la respuesta ha dado por encima de un término constante $\frac{(-1)^{r}}{r!}$ al $j=0$, que no se muestran al hacer este método normalmente.

Es posible que alguien me apunte en la dirección correcta? Gracias!

---

Ahora veo por qué el término constante es necesario; haciendo una "división larga" daría como resultado el $\frac{(-1)^r}{r!}$ plazo. El resto sería algo como $$\frac{z^r - \frac{1}{r!}(1-z)(1-2z)\cdots(1-rz)}{(1-z)(1-2z)\cdots(1-rz)}$$ que técnicamente podría ser resuelto por fracciones parciales...

La inducción también se ve prometedor, según lo sugerido por Maesumi.

Answer 1

Multiplique por$\frac{1}{1-jz}$ y conecte$\frac{1}{j}$ para obtener \begin{align*} A_j&=\frac{1/j^r}{\left( 1-\frac{1}{j} \right)\left( 1-\frac{2}{j} \right)\cdots \left( 1-\frac{j-1}{j} \right)\left( 1-\frac{j+1}{j} \right)\cdots \left( 1-\frac{r}{j} \right)} = \\ &= \frac{1}{j\left( j-1 \right)\left( j-2 \right)\cdots \left( j-j+1 \right)\left( j-j-1 \right)\cdots \left( j-r \right)}= \\ &= \frac{1}{\underbrace{j\left( j-1 \right)\left( j-2 \right)\cdots 1}_{j!} \cdot \underbrace{(-1)(-2) \cdots (-(r-j))}_{(-1)^{r-j}(r-j)!}}= \\ &= \Big\{\binom{r}{j} = \frac{r!}{j!(r-j)!}\Big\}= \frac{1}{r!}\binom{r}{j}\left( -1 \right)^{r-j} \end {align *}

Por división polinómica, podemos escribir \begin{equation} \frac{z^r}{(1-z)(1-2z)\cdots (1-rz)}=q+\frac{c}{(1-z)(1-2z)\cdots (1-rz)}\tag{1} \end {equation} donde$q, c\in \mathbb{R}$. Por teoría de fracciones parciales, podemos tener como máximo las fracciones$r$, por lo que por lo anterior, obtenemos \begin{equation*} \frac{c}{(1-z)(1-2z)\cdots (1-rz)}=\sum_{j=1}^{r}\frac{A_j}{1-jz} \end {ecuación *} Conectando$0$ en (1), obtenemos \begin{align*} q=A_0&=-\frac{1}{r!}\sum_{j=1}^{r}\binom{r}{j} \frac{(-1)^{r-j}}{1-0}= \\ &=-\frac{1}{r!}\Big[\underbrace{\sum_{j=0}^{r}\binom{r}{j}(-1)^{r-j}}_{(1-1)^r=0}-\binom{r}{0}(-1)^r \Big]=\frac{(-1)^r}{r!} \end{align*}